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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 14 (Matemática) do ITA 2012

Matemática · Matemática: Conjuntos e conjuntos numéricos

Texto-base das questões 01 a 20 · Matemática

\mathbb{N} : conjunto dos números naturais

\mathbb{R} : conjunto dos números reais

\mathbb{R}^+ : conjunto dos números reais não-negativos

i : unidade imaginária; i^2 = -1

\arg z : argumento do número complexo z

[a, b] = \{x \in \mathbb{R} : a \le x \le b\}

A \setminus B = \{x : x \in A \text{ e } x \notin B\}

A^C : complementar do conjunto A

P(A) : conjunto de todos os subconjuntos do conjunto A

n(A) : número de elementos do conjunto finito A

\overline{AB} : segmento de reta unindo os pontos A e B

\widehat{AB} : arco de circunferência de extremidades A e B

\sum_{k=0}^{n} a_k x^k = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + \ldots + a_n x^n,\ n \in \mathbb{N}

Observação: Os sistemas de coordenadas considerados são cartesianos retangulares.

Sejam A e B dois conjuntos disjuntos, ambos finitos e não-vazios, tais que n(P(A) \text{ }\cup P(B)) + 1 = n(P(A \cup B)). Então, a diferença n(A) - n(B) pode assumir

  1. A
    um único valor.
  2. B
    apenas dois valores distintos.
  3. C
    apenas três valores distintos.
  4. D
    apenas quatro valores distintos.
  5. E
    mais do que quatro valores distintos.
Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.
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Resolução comentada

Sejam n(A)=a e n(B)=b, com a,b\ge 1.

Como A e B são disjuntos, P(A)\cap P(B) contém só o conjunto vazio (um subconjunto comum a ambos teria de estar em A e em B ao mesmo tempo). Logo n(P(A)\cap P(B))=1.

Pela fórmula da união:

n(P(A)\cup P(B)) = 2^a + 2^b - 1

O conjunto A\cup B tem a+b elementos, então n(P(A\cup B)) = 2^{a+b}.

A condição do enunciado fica:

  1. 2^a + 2^b - 1 + 1 = 2^{a+b}
  2. 2^a + 2^b = 2^a\cdot 2^b
  3. Dividindo por 2^a 2^b: \dfrac{1}{2^b}+\dfrac{1}{2^a}=1

Como a,b\ge1, cada parcela é no máximo \tfrac12. A soma só chega a 1 se as duas forem iguais a \tfrac12, ou seja, a=b=1.

Verificação: 2+2=4=2^2. ✓

Assim, n(A)-n(B)=0 é o único valor possível.

Alternativa A.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • BSupõe que a\ne b também poderia satisfazer a equação, mas 2^{-a}+2^{-b}=1 só tem a solução a=b=1.
  • CNão há três diferenças possíveis; a equação admite um único par (a,b).
  • DNão há quatro valores; a restrição a,b\ge1 força a=b=1.
  • EA equação exponencial restringe muito os valores, não deixa infinitas possibilidades.

Assuntos: Conjuntos e conjuntos numéricos, Potenciação e radiciação.

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Fonte: ITA 2012 · Matemática. Prova oficial ↗