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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 1 (Matemática) do ITA 2012

Matemática · Matemática: Combinações e binômio de Newton

Texto-base das questões 01 a 20 · Matemática

\mathbb{N} : conjunto dos números naturais

\mathbb{R} : conjunto dos números reais

\mathbb{R}^+ : conjunto dos números reais não-negativos

i : unidade imaginária; i^2 = -1

\arg z : argumento do número complexo z

[a, b] = \{x \in \mathbb{R} : a \le x \le b\}

A \setminus B = \{x : x \in A \text{ e } x \notin B\}

A^C : complementar do conjunto A

P(A) : conjunto de todos os subconjuntos do conjunto A

n(A) : número de elementos do conjunto finito A

\overline{AB} : segmento de reta unindo os pontos A e B

\widehat{AB} : arco de circunferência de extremidades A e B

\sum_{k=0}^{n} a_k x^k = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + \ldots + a_n x^n,\ n \in \mathbb{N}

Observação: Os sistemas de coordenadas considerados são cartesianos retangulares.

Deseja-se trocar uma moeda de 25 centavos, usando-se apenas moedas de 1, 5 e 10 centavos. Então, o número de diferentes maneiras em que a moeda de 25 centavos pode ser trocada é igual a

  1. A
    6.
  2. B
    8.
  3. C
    10.
  4. D
    12.
  5. E
    14.
Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.
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Resolução comentada

Queremos contar as soluções inteiras não negativas de x + 5y + 10z = 25, em que x, y e z são as quantidades de moedas de 1, 5 e 10 centavos. Como as moedas de 1 centavo completam qualquer valor que falte, basta escolher y e z de modo que 5y + 10z \le 25. O valor de x fica então determinado: x = 25 - 5y - 10z.

Fazemos a contagem pelo número de moedas de 10 centavos:

  1. z = 0: 5y \le 25, logo y = 0, 1, 2, 3, 4, 5. São 6 maneiras.
  2. z = 1: 5y \le 15, logo y = 0, 1, 2, 3. São 4 maneiras.
  3. z = 2: 5y \le 5, logo y = 0, 1. São 2 maneiras.

Para z = 3 teríamos 30 centavos, que passa de 25, então não há mais casos.

Total: 6 + 4 + 2 = 12.

Observação: o enunciado não proíbe trocar usando só moedas de 1 centavo (25 moedas), e esse caso já está contado em z=0, y=0.

Alternativa D.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • Aconta apenas os casos sem moedas de 10 centavos (z=0).
  • Besquece algum dos casos, por exemplo descarta a troca só com moedas de 1 centavo ou erra a contagem de y.
  • Csoma 6 + 4 e deixa de contar os 2 casos com duas moedas de 10 centavos.
  • Econta a mais, por exemplo incluindo valores de y ou z que ultrapassam 25 centavos.

Assunto: Combinações e binômio de Newton.

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Fonte: ITA 2012 · Matemática. Prova oficial ↗