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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 8 (Matemática) do ITA 2011

Matemática · Matemática: Equações polinomiais e relações de Girard

Texto-base das questões 01 a 20 · Matemática
\mathbb{N} : conjunto dos números naturais \mathbb{C} : conjunto dos números complexos
\mathbb{Z} : conjunto dos números inteiros i : unidade imaginária: i^2 = -1
\mathbb{Q} : conjunto dos números racionais \overline{z} : conjugado do número z \in \mathbb{C}
\mathbb{R} : conjunto dos números reais |z| : módulo do número z \in \mathbb{C}
A \setminus B = \{x : x \in A \text{ e } x \notin B\} [a, b] = \{x \in \mathbb{R} : a \le x \le b\}
[a, b[ = \{x \in \mathbb{R} : a \le x < b\} ]a, b[ = \{x \in \mathbb{R} : a < x < b\}

\text{M}_{m \times n}(\mathbb{R}) : conjunto das matrizes reais m \times n
\det M : determinante da matriz M

P(A) : conjunto de todos os subconjuntos do conjunto A
n(A) : número de elementos do conjunto finito A

\overline{AB} : segmento de reta unindo os pontos A e B
A\overset{\wedge}{B}C : ângulo formado pelos segmentos \overline{AB} e \overline{BC}, com vértice no ponto B

\sum_{n=0}^k a_n x^n = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + \dots + a_k x^k, k \in \mathbb{N}

Observação: Os sistemas de coordenadas considerados são cartesianos retangulares.

Se 1 é uma raiz de multiplicidade 2 da equação x^4 + x^2 + ax + b = 0, com a, b \in \mathbb{R}, então a^2 - b^3 é igual a

  1. A
    -64.
  2. B
    -36.
  3. C
    -28.
  4. D
    18.
  5. E
    27.
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Resolução comentada

Se 1 é raiz de multiplicidade 2 de P(x)=x^4+x^2+ax+b, então P(1)=0 e P'(1)=0 (a raiz dupla anula o polinômio e sua derivada).

  1. P(1)=0: 1+1+a+b=0, logo a+b=-2.
  2. A derivada é P'(x)=4x^3+2x+a. Em x=1: 4+2+a=0, logo a=-6.
  3. Substituindo em a+b=-2: b=-2+6=4.

Conferindo: x^4+x^2-6x+4 dividido por (x-1)^2=x^2-2x+1 dá x^2+2x+4, pois (x^2-2x+1)(x^2+2x+4)=x^4+2x^3+4x^2-2x^3-4x^2-8x+x^2+2x+4=x^4+x^2-6x+4. Confere.

Agora calculamos:

a^2-b^3=(-6)^2-4^3=36-64=-28

Alternativa C.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • AErra ao calcular a ou b, por exemplo usando b^3 com valor incorreto, e chega a -64, que é só -b^3 sem somar a^2.
  • BResultado de -36 não vem de a=-6, b=4; é erro de conta, trocando os papéis de a^2 e b^3 em partes.
  • DValor sem relação com a=-6 e b=4; ignora a condição de multiplicidade 2.
  • EValor sem relação com a=-6 e b=4; resulta de usar só P(1)=0 sem a derivada.

Assuntos: Equações polinomiais e relações de Girard, Polinômios.

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Fonte: ITA 2011 · Matemática. Prova oficial ↗