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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 7 (Matemática) do ITA 2011

Matemática · Matemática: Matrizes e determinantes

Texto-base das questões 01 a 20 · Matemática
\mathbb{N} : conjunto dos números naturais \mathbb{C} : conjunto dos números complexos
\mathbb{Z} : conjunto dos números inteiros i : unidade imaginária: i^2 = -1
\mathbb{Q} : conjunto dos números racionais \overline{z} : conjugado do número z \in \mathbb{C}
\mathbb{R} : conjunto dos números reais |z| : módulo do número z \in \mathbb{C}
A \setminus B = \{x : x \in A \text{ e } x \notin B\} [a, b] = \{x \in \mathbb{R} : a \le x \le b\}
[a, b[ = \{x \in \mathbb{R} : a \le x < b\} ]a, b[ = \{x \in \mathbb{R} : a < x < b\}

\text{M}_{m \times n}(\mathbb{R}) : conjunto das matrizes reais m \times n
\det M : determinante da matriz M

P(A) : conjunto de todos os subconjuntos do conjunto A
n(A) : número de elementos do conjunto finito A

\overline{AB} : segmento de reta unindo os pontos A e B
A\overset{\wedge}{B}C : ângulo formado pelos segmentos \overline{AB} e \overline{BC}, com vértice no ponto B

\sum_{n=0}^k a_n x^n = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + \dots + a_k x^k, k \in \mathbb{N}

Observação: Os sistemas de coordenadas considerados são cartesianos retangulares.

Considere as afirmações abaixo:

I - Se M é uma matriz quadrada de ordem n > 1, não-nula e não-inversível, então existe matriz não-nula N, de mesma ordem, tal que MN é matriz nula.

II - Se M é uma matriz quadrada inversível de ordem n tal que \det(M^2 - M) = 0, então existe matriz não-nula X, de ordem n \times 1, tal que MX = X.

III - A matriz \begin{bmatrix} \cos\theta & -\sen\theta \\ \frac{\tg\theta}{\sec\theta} & 1 - 2\sen^2\frac{\theta}{2} \end{bmatrix} é inversível, \forall\theta \neq \frac{\pi}{2} + k\pi, k \in \mathbb{Z}.

Destas, é(são) verdadeira(s)

  1. A
    apenas II.
  2. B
    apenas I e II.
  3. C
    apenas I e III.
  4. D
    apenas II e III.
  5. E
    todas.
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Resolução comentada

I. Se M não é inversível, \det M = 0, então o sistema MY=0 tem solução não-nula Y (vetor coluna). Montamos N com todas as colunas iguais a Y (ou só uma coluna Y e as demais nulas). Assim N \neq 0 e MN = 0. Verdadeira.

II. Temos \det(M^2-M)=\det\big(M(M-I)\big)=\det M\cdot\det(M-I)=0. Como M é inversível, \det M\neq 0, logo \det(M-I)=0. Então o sistema (M-I)X=0 tem solução X\neq 0, isto é, MX=X. Verdadeira.

III. Simplificando os elementos da matriz:

  • \dfrac{\tg\theta}{\sec\theta}=\dfrac{\sen\theta/\cos\theta}{1/\cos\theta}=\sen\theta;
  • 1-2\sen^2\frac{\theta}{2}=\cos\theta.

A matriz fica \begin{bmatrix}\cos\theta & -\sen\theta\\ \sen\theta & \cos\theta\end{bmatrix}, com determinante \cos^2\theta+\sen^2\theta=1\neq0. Ela é inversível para todo \theta, em particular para \theta\neq\frac{\pi}{2}+k\pi. Verdadeira.

As três afirmações são verdadeiras.

Alternativa E.

Pegadinha: A restrição \theta\neq\frac{\pi}{2}+k\pi na III sugere que a matriz falha em algum ponto, mas ela serve só para definir tg e sec; a matriz é sempre inversível.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • AIgnora que I e III também são verdadeiras.
  • BConsidera III falsa, mas o determinante é \cos^2\theta+\sen^2\theta=1.
  • CConsidera II falsa, mas \det M\neq0 força \det(M-I)=0.
  • DConsidera I falsa, mas existe N com colunas iguais a uma solução não-nula de MY=0.

Assunto: Matrizes e determinantes.

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Fonte: ITA 2011 · Matemática. Prova oficial ↗