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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 6 (Matemática) do ITA 2011

Matemática · Matemática: Sistemas lineares

Texto-base das questões 01 a 20 · Matemática
\mathbb{N} : conjunto dos números naturais \mathbb{C} : conjunto dos números complexos
\mathbb{Z} : conjunto dos números inteiros i : unidade imaginária: i^2 = -1
\mathbb{Q} : conjunto dos números racionais \overline{z} : conjugado do número z \in \mathbb{C}
\mathbb{R} : conjunto dos números reais |z| : módulo do número z \in \mathbb{C}
A \setminus B = \{x : x \in A \text{ e } x \notin B\} [a, b] = \{x \in \mathbb{R} : a \le x \le b\}
[a, b[ = \{x \in \mathbb{R} : a \le x < b\} ]a, b[ = \{x \in \mathbb{R} : a < x < b\}

\text{M}_{m \times n}(\mathbb{R}) : conjunto das matrizes reais m \times n
\det M : determinante da matriz M

P(A) : conjunto de todos os subconjuntos do conjunto A
n(A) : número de elementos do conjunto finito A

\overline{AB} : segmento de reta unindo os pontos A e B
A\overset{\wedge}{B}C : ângulo formado pelos segmentos \overline{AB} e \overline{BC}, com vértice no ponto B

\sum_{n=0}^k a_n x^n = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + \dots + a_k x^k, k \in \mathbb{N}

Observação: Os sistemas de coordenadas considerados são cartesianos retangulares.

O sistema \begin{cases} x + 2y + 3z = a \\ y + 2z = b \\ 3x - y - 5c\,z = 0 \end{cases}

  1. A
    é possível, \forall a, b, c \in \mathbb{R}.
  2. B
    é possível quando a = \dfrac{7\,b}{3} ou c \neq 1.
  3. C
    é impossível quando c = 1, \forall a, b \in \mathbb{R}.
  4. D
    é impossível quando a \neq \dfrac{7\,b}{3}, \forall c \in \mathbb{R}.
  5. E
    é possível quando c = 1 e a \neq \dfrac{7\,b}{3}.
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Resolução comentada

Um sistema linear 3×3 é possível se o determinante dos coeficientes for diferente de zero, ou, quando for zero, se as equações forem compatíveis. Então começamos pelo determinante.

  1. Matriz dos coeficientes: linhas (1,2,3), (0,1,2) e (3,-1,-5c).

  2. Determinante:

    \det = 1\cdot(-5c+2) - 2\cdot(0-6) + 3\cdot(0-3) = -5c+2+12-9 = 5-5c = 5(1-c).

  3. Se c\neq 1, o determinante é não nulo e o sistema é possível e determinado, para quaisquer a e b.

  4. Se c=1, o determinante é zero. Então precisamos checar a compatibilidade. Da 2ª equação, y = b-2z. Na 1ª: x + 2b - 4z + 3z = a, logo x = a-2b+z.

  5. Substituindo na 3ª com c=1: 3(a-2b+z) - (b-2z) - 5z = 0, ou seja, 3a-6b+3z-b+2z-5z = 0, que dá 3a - 7b = 0.

  6. Assim, para c=1 o sistema é possível (indeterminado) só se a=\dfrac{7b}{3}; caso contrário é impossível.

Conclusão: o sistema é possível se c\neq1 ou, no caso c=1, se a=\dfrac{7b}{3}. Isso é exatamente o que diz a alternativa B.

Alternativa B.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • APara c=1 e a\neq 7b/3 o sistema é impossível, então nem sempre é possível.
  • CCom c=1 o sistema é possível quando a=7b/3, então não é impossível para todo a,b.
  • DSe c\neq1 o sistema é possível para qualquer a e b, mesmo com a\neq 7b/3.
  • ECom c=1 e a\neq 7b/3 o sistema é justamente impossível.

Assunto: Sistemas lineares.

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Fonte: ITA 2011 · Matemática. Prova oficial ↗