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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 5 (Matemática) do ITA 2011

Matemática · Matemática: Conjuntos e conjuntos numéricos

Texto-base das questões 01 a 20 · Matemática
\mathbb{N} : conjunto dos números naturais \mathbb{C} : conjunto dos números complexos
\mathbb{Z} : conjunto dos números inteiros i : unidade imaginária: i^2 = -1
\mathbb{Q} : conjunto dos números racionais \overline{z} : conjugado do número z \in \mathbb{C}
\mathbb{R} : conjunto dos números reais |z| : módulo do número z \in \mathbb{C}
A \setminus B = \{x : x \in A \text{ e } x \notin B\} [a, b] = \{x \in \mathbb{R} : a \le x \le b\}
[a, b[ = \{x \in \mathbb{R} : a \le x < b\} ]a, b[ = \{x \in \mathbb{R} : a < x < b\}

\text{M}_{m \times n}(\mathbb{R}) : conjunto das matrizes reais m \times n
\det M : determinante da matriz M

P(A) : conjunto de todos os subconjuntos do conjunto A
n(A) : número de elementos do conjunto finito A

\overline{AB} : segmento de reta unindo os pontos A e B
A\overset{\wedge}{B}C : ângulo formado pelos segmentos \overline{AB} e \overline{BC}, com vértice no ponto B

\sum_{n=0}^k a_n x^n = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + \dots + a_k x^k, k \in \mathbb{N}

Observação: Os sistemas de coordenadas considerados são cartesianos retangulares.

Sejam A e B conjuntos finitos e não vazios tais que A \subset B e n(\{C : C \subset B \setminus A\}) = 128. Das afirmações abaixo:

I - n(B) - n(A) é único;

II - n(B) + n(A) \le 128;

III - a dupla ordenada (n(A), n(B)) é única;

é(são) verdadeira(s)

  1. A
    apenas I.
  2. B
    apenas II.
  3. C
    apenas III.
  4. D
    apenas I e II.
  5. E
    nenhuma.
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Resolução comentada

O número de subconjuntos de um conjunto com k elementos é 2^k. Aqui, o conjunto é B\setminus A, e o enunciado diz que ele tem 128 subconjuntos.

  1. 2^{k}=128=2^7, logo k=7.
  2. Como A\subset B, temos n(B\setminus A)=n(B)-n(A)=7.

Afirmação I: n(B)-n(A)=7 é sempre o mesmo valor, então é única. Verdadeira.

Afirmação II: n(B)+n(A)\le 128? Como n(B)=n(A)+7, a soma é 2n(A)+7. Como A é finito, mas pode ter qualquer tamanho, basta n(A)=100: então n(B)=107 e a soma é 207>128. Logo a afirmação não vale sempre. Falsa.

Afirmação III: o par (n(A),n(B))=(n(A),n(A)+7) depende de n(A), que pode ser 1,2,3,\dots. Por exemplo, (1,8) e (2,9) servem. Então o par não é único. Falsa.

Só a afirmação I é verdadeira.

Alternativa A.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • BA afirmação II é falsa: com n(A)=100 e n(B)=107 a soma passa de 128, e I é verdadeira.
  • CO par (n(A), n(A)+7) varia com n(A), então não é único; III é falsa.
  • DInclui II, que é falsa, pois n(A) pode ser grande.
  • EI é verdadeira, pois n(B)-n(A)=7 sempre.

Assunto: Conjuntos e conjuntos numéricos.

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Fonte: ITA 2011 · Matemática. Prova oficial ↗