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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 2 (Matemática) do ITA 2011

Matemática · Matemática: Números complexos

Texto-base das questões 01 a 20 · Matemática
\mathbb{N} : conjunto dos números naturais \mathbb{C} : conjunto dos números complexos
\mathbb{Z} : conjunto dos números inteiros i : unidade imaginária: i^2 = -1
\mathbb{Q} : conjunto dos números racionais \overline{z} : conjugado do número z \in \mathbb{C}
\mathbb{R} : conjunto dos números reais |z| : módulo do número z \in \mathbb{C}
A \setminus B = \{x : x \in A \text{ e } x \notin B\} [a, b] = \{x \in \mathbb{R} : a \le x \le b\}
[a, b[ = \{x \in \mathbb{R} : a \le x < b\} ]a, b[ = \{x \in \mathbb{R} : a < x < b\}

\text{M}_{m \times n}(\mathbb{R}) : conjunto das matrizes reais m \times n
\det M : determinante da matriz M

P(A) : conjunto de todos os subconjuntos do conjunto A
n(A) : número de elementos do conjunto finito A

\overline{AB} : segmento de reta unindo os pontos A e B
A\overset{\wedge}{B}C : ângulo formado pelos segmentos \overline{AB} e \overline{BC}, com vértice no ponto B

\sum_{n=0}^k a_n x^n = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + \dots + a_k x^k, k \in \mathbb{N}

Observação: Os sistemas de coordenadas considerados são cartesianos retangulares.

Das afirmações abaixo sobre números complexos z_1 e z_2 :

I - \ |z_1 - z_2| \le ||z_1| - |z_2||.

II - \ |\overline{z}_1 . z_2| = ||\overline{z}_2| . |\overline{z}_2||.

III - \ \text{Se } z_1 = |z_1| (cos\ \theta + i\ sen\ \theta) \neq 0\text{, então } z_1^{-1} = |z_1|^{-1} (cos\ \theta - i\ sen\ \theta).

é(são) sempre verdadeira(s)

  1. A
    apenas I.
  2. B
    apenas II.
  3. C
    apenas III.
  4. D
    apenas II e III.
  5. E
    todas.
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Resolução comentada

Vamos testar cada afirmação.

I. A desigualdade triangular verdadeira é ||z_1|-|z_2|| \le |z_1-z_2|, ou seja, o sentido é o contrário do afirmado. Contraexemplo: z_1=1 e z_2=-1. Então |z_1-z_2|=2 e ||z_1|-|z_2||=0, e 2\le 0 é falso. I é falsa.

II. Pela propriedade do módulo do produto, |\overline{z}_1\cdot z_2|=|\overline{z}_1|\cdot|z_2|=|z_1|\cdot|z_2|. O lado direito, como está escrito, é ||\overline{z}_2|\cdot|\overline{z}_2||=|z_2|^2. Então a igualdade exigiria |z_1||z_2|=|z_2|^2, o que só vale se |z_1|=|z_2| ou z_2=0. Contraexemplo: z_1=2 e z_2=1 dá 2 contra 1. II é falsa como está escrita (o enunciado original provavelmente pretendia |\overline{z}_1|\cdot|\overline{z}_2|, mas vale o que está impresso).

III. Com z_1=|z_1|(\cos\theta+i\,\sen\theta), temos z_1^{-1}=\dfrac{\overline{z_1}}{|z_1|^2}. Como \overline{z_1}=|z_1|(\cos\theta-i\,\sen\theta), resulta:

z_1^{-1}=\frac{|z_1|(\cos\theta-i\,\sen\theta)}{|z_1|^2}=|z_1|^{-1}(\cos\theta-i\,\sen\theta).

Isso vale sempre para z_1\neq 0. III é verdadeira.

Só a III é sempre verdadeira.

Alternativa C.

Pegadinha: A afirmação I parece a desigualdade triangular, mas o sentido está invertido; e na II o lado direito repete \overline{z}_2, o que a torna falsa.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • AA desigualdade da I está invertida: o correto é ||z_1|-|z_2||\le|z_1-z_2|.
  • BA II, como escrita, leva a |z_1||z_2|=|z_2|^2, que não vale sempre.
  • DInclui a II, que é falsa, por ler o lado direito como se fosse |z_1||z_2|.
  • EI e II são falsas, então nem todas são verdadeiras.

Assunto: Números complexos.

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Fonte: ITA 2011 · Matemática. Prova oficial ↗