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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 3 (Matemática) do ITA 2011

Matemática · Matemática: Números complexos

Texto-base das questões 01 a 20 · Matemática
\mathbb{N} : conjunto dos números naturais \mathbb{C} : conjunto dos números complexos
\mathbb{Z} : conjunto dos números inteiros i : unidade imaginária: i^2 = -1
\mathbb{Q} : conjunto dos números racionais \overline{z} : conjugado do número z \in \mathbb{C}
\mathbb{R} : conjunto dos números reais |z| : módulo do número z \in \mathbb{C}
A \setminus B = \{x : x \in A \text{ e } x \notin B\} [a, b] = \{x \in \mathbb{R} : a \le x \le b\}
[a, b[ = \{x \in \mathbb{R} : a \le x < b\} ]a, b[ = \{x \in \mathbb{R} : a < x < b\}

\text{M}_{m \times n}(\mathbb{R}) : conjunto das matrizes reais m \times n
\det M : determinante da matriz M

P(A) : conjunto de todos os subconjuntos do conjunto A
n(A) : número de elementos do conjunto finito A

\overline{AB} : segmento de reta unindo os pontos A e B
A\overset{\wedge}{B}C : ângulo formado pelos segmentos \overline{AB} e \overline{BC}, com vértice no ponto B

\sum_{n=0}^k a_n x^n = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + \dots + a_k x^k, k \in \mathbb{N}

Observação: Os sistemas de coordenadas considerados são cartesianos retangulares.

A soma de todas as soluções da equação em \mathbb{C} : z^2 + |z|^2 + i z - 1 = 0 é igual a

  1. A
    2.
  2. B
    \dfrac{i}{2}.
  3. C
    0.
  4. D
    -\dfrac{1}{2}.
  5. E
    -2 i.
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Resolução comentada

Escreva z = x + yi, com x, y reais. Então z^2 = x^2 - y^2 + 2xyi, |z|^2 = x^2 + y^2 e iz = xi - y.

Substituindo na equação:

(x^2 - y^2 + x^2 + y^2 - y - 1) + (2xy + x)i = 0

Igualando a zero a parte real e a parte imaginária:

  1. Parte real: 2x^2 - y - 1 = 0.
  2. Parte imaginária: 2xy + x = x(2y+1) = 0.

Da segunda equação, x = 0 ou y = -\tfrac{1}{2}.

Caso x = 0: a primeira equação dá -y - 1 = 0, logo y = -1 e z = -i.

Caso y = -\tfrac{1}{2}: a primeira equação dá 2x^2 + \tfrac{1}{2} - 1 = 0, ou seja, x^2 = \tfrac{1}{4} e x = \pm\tfrac{1}{2}. As soluções são z = \tfrac{1}{2} - \tfrac{i}{2} e z = -\tfrac{1}{2} - \tfrac{i}{2}.

Somando as três soluções:

-i + \left(\tfrac{1}{2} - \tfrac{i}{2}\right) + \left(-\tfrac{1}{2} - \tfrac{i}{2}\right) = -2i

Os termos reais se cancelam e as partes imaginárias somam -1 - \tfrac12 - \tfrac12 = -2.

Alternativa E.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • ANão corresponde a nenhuma soma possível: a soma das raízes tem só parte imaginária, não real.
  • BValor sem base nas raízes encontradas; a soma das partes imaginárias é -2, não \tfrac12.
  • CEsquece a raiz z=-i (só as outras duas somam -i) ou supõe que as raízes se anulam.
  • DSoma apenas partes reais ou erra os sinais; as partes reais se cancelam e a soma é imaginária.

Assunto: Números complexos.

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Ver como caiu na prova Questão 3 no caderno Matemática do ITA 2011

Fonte: ITA 2011 · Matemática. Prova oficial ↗