Questão 1 (Matemática) do ITA 2011

Question

Dado z = \dfrac{1}{2}(-1 + \sqrt{3}\,i), então \displaystyle\sum_{n=1}^{89} z^n é igual a

A
-\dfrac{89}{2}\sqrt{3}\,i.
B
-1.
C
0.
D
1.
E
\dfrac{89}{6}\sqrt{3}\,i.

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 1 (Matemática) do ITA 2011

Matemática · Matemática: Números complexos

Texto-base das questões 01 a 20 · Matemática

\mathbb{N} : conjunto dos números naturais	\mathbb{C} : conjunto dos números complexos
\mathbb{Z} : conjunto dos números inteiros	i : unidade imaginária: i^2 = -1
\mathbb{Q} : conjunto dos números racionais	\overline{z} : conjugado do número z \in \mathbb{C}
\mathbb{R} : conjunto dos números reais	\|z\| : módulo do número z \in \mathbb{C}

A \setminus B = \{x : x \in A \text{ e } x \notin B\}	[a, b] = \{x \in \mathbb{R} : a \le x \le b\}
[a, b[ = \{x \in \mathbb{R} : a \le x < b\}	]a, b[ = \{x \in \mathbb{R} : a < x < b\}

\text{M}_{m \times n}(\mathbb{R}) : conjunto das matrizes reais m \times n
\det M : determinante da matriz M

P(A) : conjunto de todos os subconjuntos do conjunto A
n(A) : número de elementos do conjunto finito A

\overline{AB} : segmento de reta unindo os pontos A e B
A\overset{\wedge}{B}C : ângulo formado pelos segmentos \overline{AB} e \overline{BC}, com vértice no ponto B

\sum_{n=0}^k a_n x^n = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + \dots + a_k x^k, k \in \mathbb{N}

Observação: Os sistemas de coordenadas considerados são cartesianos retangulares.

Dado z = \dfrac{1}{2}(-1 + \sqrt{3}\,i), então \displaystyle\sum_{n=1}^{89} z^n é igual a

A
-\dfrac{89}{2}\sqrt{3}\,i.
B
-1.
C
0.
D
1.
E
\dfrac{89}{6}\sqrt{3}\,i.

Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.

Reportar erro na questão

Resolução comentada

Escrevendo z na forma trigonométrica: z=\dfrac{1}{2}(-1+\sqrt{3}\,i)=\cos 120^\circ + i\,\sen 120^\circ. Seu módulo é 1 e z^3=\cos 360^\circ + i\,\sen 360^\circ=1. Logo z é raiz cúbica da unidade, diferente de 1, e vale 1+z+z^2=0.

As potências se repetem de 3 em 3: z, z^2, z^3=1, z^4=z, \dots Então cada bloco de três potências consecutivas soma z+z^2+z^3 = z+z^2+1=0.

Como 89 = 3\cdot 29 + 2, os termos de n=1 até n=87 formam 29 blocos completos, cada um com soma 0.
Sobram os termos n=88 e n=89.
z^{88}=z^{87}\cdot z = z, pois z^{87}=(z^3)^{29}=1.
z^{89}=z^2.

Assim:

\sum_{n=1}^{89} z^n = 0 + z + z^2 = -1,

usando 1+z+z^2=0, ou seja, z+z^2=-1.

Conferindo: z+z^2=\left(-\tfrac12+\tfrac{\sqrt3}{2}i\right)+\left(-\tfrac12-\tfrac{\sqrt3}{2}i\right)=-1.

Alternativa B.

Pegadinha: A alternativa C engana quem lembra que a soma de três potências consecutivas é zero, mas esquece que 89 deixa resto 2 e sobram z e z².

Por que as outras alternativas estão erradas

AMultiplica 89 pela parte imaginária de z, ignorando que as potências se cancelam em ciclos de 3.
CSupõe que toda a soma se anula, esquecendo que 89 não é múltiplo de 3 e sobram dois termos.
DConta apenas um termo restante (z³=1) ou erra o resto da divisão, obtendo 1 em vez de z+z².
EUsa só a parte imaginária de z multiplicada por 89/3, sem considerar o cancelamento periódico.

Assunto: Números complexos.

Reportar erro na resolução

Ver como caiu na prova

Questão 1 no caderno Matemática do ITA 2011

Fonte: ITA 2011 · Matemática. Prova oficial ↗