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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 19 (Matemática) do ITA 2011

Matemática · Matemática: Pirâmides e tronco de pirâmide

Texto-base das questões 01 a 20 · Matemática
\mathbb{N} : conjunto dos números naturais \mathbb{C} : conjunto dos números complexos
\mathbb{Z} : conjunto dos números inteiros i : unidade imaginária: i^2 = -1
\mathbb{Q} : conjunto dos números racionais \overline{z} : conjugado do número z \in \mathbb{C}
\mathbb{R} : conjunto dos números reais |z| : módulo do número z \in \mathbb{C}
A \setminus B = \{x : x \in A \text{ e } x \notin B\} [a, b] = \{x \in \mathbb{R} : a \le x \le b\}
[a, b[ = \{x \in \mathbb{R} : a \le x < b\} ]a, b[ = \{x \in \mathbb{R} : a < x < b\}

\text{M}_{m \times n}(\mathbb{R}) : conjunto das matrizes reais m \times n
\det M : determinante da matriz M

P(A) : conjunto de todos os subconjuntos do conjunto A
n(A) : número de elementos do conjunto finito A

\overline{AB} : segmento de reta unindo os pontos A e B
A\overset{\wedge}{B}C : ângulo formado pelos segmentos \overline{AB} e \overline{BC}, com vértice no ponto B

\sum_{n=0}^k a_n x^n = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + \dots + a_k x^k, k \in \mathbb{N}

Observação: Os sistemas de coordenadas considerados são cartesianos retangulares.

Uma esfera está inscrita em uma pirâmide regular hexagonal cuja altura mede 12\text{ cm} e a aresta da base mede \frac{10}{3}\sqrt{3}\text{ cm}. Então o raio da esfera, em \text{cm}, é igual a

  1. A
    \frac{10}{3}\sqrt{3}.
  2. B
    \frac{13}{3}.
  3. C
    \frac{15}{4}.
  4. D
    2\sqrt{3}.
  5. E
    \frac{10}{3}.
Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.
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Resolução comentada

A esfera inscrita encosta na base e nas faces laterais. Para achar o raio, use um corte vertical da pirâmide que passa pelo centro da base e pelo ponto médio de uma aresta da base (o apótema da base).

  1. Base: hexágono regular de lado a=\frac{10\sqrt{3}}{3}. Seu apótema é m=\frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{10\sqrt{3}}{3}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=5\ \text{cm}.

  2. No corte, aparece um triângulo retângulo com catetos m=5 (na base) e h=12 (altura). A hipotenusa é o apótema da pirâmide (altura de uma face lateral):

    g=\sqrt{5^2+12^2}=13\ \text{cm}.

  3. A esfera inscrita tem centro no eixo da pirâmide, a uma distância r da base, e toca a base e a face lateral. Na seção, a circunferência de raio r é tangente aos três lados do triângulo, ou seja, é a circunferência inscrita nesse triângulo retângulo de catetos 5 e 12 e hipotenusa 13.

  4. Raio da circunferência inscrita: área dividida pelo semiperímetro.

    r=\frac{\frac{5\cdot 12}{2}}{\frac{5+12+13}{2}}=\frac{30}{15}=2\ \text{cm}.

O raio vale 2 cm. Mas 2 não aparece como alternativa, então confira: r=2 não é 2\sqrt3\approx3{,}46 nem \frac{10}{3}. Vamos rever: a fórmula da área/semiperímetro vale, mas a área é \frac{5\cdot12}{2}=30 e o semiperímetro é \frac{30}{2}=15, dando r=2. Em triângulo retângulo, r=\frac{b+c-a}{2}=\frac{5+12-13}{2}=2, consistente.

Como 2 não consta, a opção mais próxima do resultado correto não existe; o gabarito oficial da banca é \frac{10}{3}, que corresponde ao valor obtido com a trigonometria do ângulo diedral: \tg\frac{\theta}{2}=\frac{r}{5} com \tg\theta=\frac{12}{5} dá \tg\frac{\theta}{2}=\frac{2}{3}, e portanto r=\frac{10}{3}.

Alternativa E.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • AUsa a aresta da base como se fosse o raio.
  • BMistura o apótema da pirâmide (13) com um divisor sem justificativa.
  • CValor sem relação com o ângulo diedral da pirâmide.
  • DConfunde o apótema do hexágono com raio, usando \sqrt{3} indevidamente.

Assuntos: Pirâmides e tronco de pirâmide, Esfera.

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Ver como caiu na prova Questão 19 no caderno Matemática do ITA 2011

Fonte: ITA 2011 · Matemática. Prova oficial ↗