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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 18 (Matemática) do ITA 2011

Matemática · Matemática: Circunferência: ângulos, cordas e tangência

Texto-base das questões 01 a 20 · Matemática
\mathbb{N} : conjunto dos números naturais \mathbb{C} : conjunto dos números complexos
\mathbb{Z} : conjunto dos números inteiros i : unidade imaginária: i^2 = -1
\mathbb{Q} : conjunto dos números racionais \overline{z} : conjugado do número z \in \mathbb{C}
\mathbb{R} : conjunto dos números reais |z| : módulo do número z \in \mathbb{C}
A \setminus B = \{x : x \in A \text{ e } x \notin B\} [a, b] = \{x \in \mathbb{R} : a \le x \le b\}
[a, b[ = \{x \in \mathbb{R} : a \le x < b\} ]a, b[ = \{x \in \mathbb{R} : a < x < b\}

\text{M}_{m \times n}(\mathbb{R}) : conjunto das matrizes reais m \times n
\det M : determinante da matriz M

P(A) : conjunto de todos os subconjuntos do conjunto A
n(A) : número de elementos do conjunto finito A

\overline{AB} : segmento de reta unindo os pontos A e B
A\overset{\wedge}{B}C : ângulo formado pelos segmentos \overline{AB} e \overline{BC}, com vértice no ponto B

\sum_{n=0}^k a_n x^n = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + \dots + a_k x^k, k \in \mathbb{N}

Observação: Os sistemas de coordenadas considerados são cartesianos retangulares.

Um triângulo ABC está inscrito numa circunferência de raio 5\text{ cm}. Sabe-se ainda que \overline{AB} é o diâmetro, \overline{BC} mede 6\text{ cm} e a bissetriz do ângulo A\hat{B}C intercepta a circunferência no ponto D. Se \alpha é a soma das áreas dos triângulos ABC e ABD e \beta é a área comum aos dois, o valor de \alpha - 2\beta, em \text{cm}^2, é igual a

  1. A
    14.
  2. B
    15.
  3. C
    16.
  4. D
    17.
  5. E
    18.
Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.
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Resolução comentada

Como AB é diâmetro, os ângulos em C e em D são retos. Com AB = 10 e BC = 6, temos AC = 8.

Área de ABC: \frac{6\cdot 8}{2} = 24.

A bissetriz de A\hat{B}C passa por D, então A\hat{B}D = \frac{B}{2} e D fica no arco AC, do lado oposto a B. Como \overline{AD} e \overline{DB} subtendem arcos iguais (ângulos iguais em B não, mas \angle CBD=\angle DBA gera cordas CD=DA), o triângulo ABD é retângulo em D e AD = CD.

No triângulo ABD, \cos(B/2): \cos B = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}, logo \cos^2(B/2) = \frac{1+3/5}{2} = \frac{4}{5}.

BD = AB\cos(B/2) = 10\cdot\frac{2}{\sqrt5}, ou seja, BD^2 = 80. Então AD^2 = 100 - 80 = 20.

Como D é reto, AD\cdot BD = 2\sqrt5\cdot 4\sqrt5 = 40, e a área de ABD é \frac{40}{2}=20.

Agora, \alpha = 24 + 20 = 44. A área comum \beta é a área do quadrilátero... mais precisamente, a região comum é o triângulo ABE, em que E é a interseção de AC com BD. Como \alpha = \text{área}(ABC)+\text{área}(ABD) e \beta é a interseção, vale \alpha - 2\beta = (24-\beta)+(20-\beta), diferença das partes não comuns.

Calculando \beta: BE é bissetriz de B em ABC, então \frac{AE}{EC} = \frac{AB}{BC} = \frac{10}{6}, e AE = 8\cdot\frac{10}{16} = 5. A altura de E até AB... usando área: \beta = \text{área}(ABE) = \frac{1}{2}\cdot AE\cdot BC = \frac{5\cdot 6}{2}=15, pois BC\perp AC e E está em AC.

Portanto \alpha - 2\beta = 44 - 30 = 14.

Alternativa A.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • BErro de cálculo em \alpha ou \beta; não corresponde a 44-30.
  • CValor sem base nas áreas 24, 20 e 15.
  • DValor sem base nas áreas corretas, provavelmente de erro em \beta.
  • EValor sem base nas áreas corretas, provavelmente de erro em \beta.

Assuntos: Circunferência: ângulos, cordas e tangência, Áreas e perímetros de polígonos.

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Fonte: ITA 2011 · Matemática. Prova oficial ↗