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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 20 (Matemática) do ITA 2011

Matemática · Matemática: Poliedros e relação de Euler

Texto-base das questões 01 a 20 · Matemática
\mathbb{N} : conjunto dos números naturais \mathbb{C} : conjunto dos números complexos
\mathbb{Z} : conjunto dos números inteiros i : unidade imaginária: i^2 = -1
\mathbb{Q} : conjunto dos números racionais \overline{z} : conjugado do número z \in \mathbb{C}
\mathbb{R} : conjunto dos números reais |z| : módulo do número z \in \mathbb{C}
A \setminus B = \{x : x \in A \text{ e } x \notin B\} [a, b] = \{x \in \mathbb{R} : a \le x \le b\}
[a, b[ = \{x \in \mathbb{R} : a \le x < b\} ]a, b[ = \{x \in \mathbb{R} : a < x < b\}

\text{M}_{m \times n}(\mathbb{R}) : conjunto das matrizes reais m \times n
\det M : determinante da matriz M

P(A) : conjunto de todos os subconjuntos do conjunto A
n(A) : número de elementos do conjunto finito A

\overline{AB} : segmento de reta unindo os pontos A e B
A\overset{\wedge}{B}C : ângulo formado pelos segmentos \overline{AB} e \overline{BC}, com vértice no ponto B

\sum_{n=0}^k a_n x^n = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + \dots + a_k x^k, k \in \mathbb{N}

Observação: Os sistemas de coordenadas considerados são cartesianos retangulares.

Considere as afirmações:

I - Existe um triedro cujas 3 faces têm a mesma medida a = 120^\circ.

II - Existe um ângulo poliédrico convexo cujas faces medem, respectivamente, 30^\circ, 45^\circ, 50^\circ, 50^\circ e 170^\circ.

III - Um poliedro convexo que tem 3 faces triangulares, 1 face quadrangular, 1 face pentagonal e 2 faces hexagonais tem 9 vértices.

IV - A soma das medidas de todas as faces de um poliedro convexo com 10 vértices é 2880^\circ.

Destas, é(são) correta(s) apenas

  1. A
    II.
  2. B
    IV.
  3. C
    II e IV.
  4. D
    I, II e IV.
  5. E
    II, III e IV.
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Resolução comentada

Use duas propriedades: em um ângulo poliédrico convexo, a soma das faces é menor que 360^\circ, e cada face é menor que a soma das demais (para o triedro, vale a desigualdade triangular).

I. Três faces de 120^\circ somam 360^\circ, que não é menor que 360^\circ. Falsa.

II. A soma é 30+45+50+50+170=345^\circ<360^\circ. A maior face, 170^\circ, é menor que a soma das outras: 30+45+50+50=175^\circ. Logo o ângulo existe. Verdadeira.

III. Conte as arestas: A=\dfrac{3\cdot3+1\cdot4+1\cdot5+2\cdot6}{2}=\dfrac{9+4+5+12}{2}=15. O número de faces é F=3+1+1+2=7. Pela relação de Euler, V-A+F=2, então V=2+15-7=10, e não 9. Falsa.

IV. A soma dos ângulos de todas as faces é S=(V-2)\cdot360^\circ. Com V=10, S=8\cdot360^\circ=2880^\circ. Verdadeira.

Só II e IV são corretas.

Alternativa C.

Pegadinha: A alternativa D engana na afirmação I: três faces de 120^\circ parecem formar um vértice (como no hexágono plano), mas a soma igual a 360^\circ deixa as faces coplanares.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • AEsquece que a IV também é verdadeira, pois a soma das faces é (V-2)\cdot360^\circ=2880^\circ.
  • BEsquece que a II também é verdadeira: soma 345^\circ<360^\circ e 170^\circ<175^\circ.
  • DAceita a I, mas faces de 120^\circ somam exatamente 360^\circ, o que não forma triedro.
  • EAceita a III, mas Euler dá V=10 (com A=15, F=7), não 9.

Assunto: Poliedros e relação de Euler.

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Fonte: ITA 2011 · Matemática. Prova oficial ↗