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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 6 (Matemática) do ITA 2010

Matemática · Matemática: Conceito de função, composta e inversa

Texto-base das questões 01 a 20 · Matemática
\mathbb{N} = \{1, 2, 3, \dots\} \mathbb{C} : conjunto dos números complexos
\mathbb{R} : conjunto dos números reais i : unidade imaginária: i^2 = -1
[a, b] = \{x \in \mathbb{R}; \ a \le x \le b\} \vert z \vert : módulo do número z \in \mathbb{C}
[a, b[ = \{x \in \mathbb{R}; \ a \le x < b\} \overline{z} : conjugado do número z \in \mathbb{C}
]a, b[ = \{x \in \mathbb{R}; \ a < x < b\} M_{m \times n}(\mathbb{R}) : conjunto das matrizes reais m \times n
A \backslash B = \{x; \ x \in A \text{ e } x \notin B\} \det A : determinante da matriz A
\sum_{n=1}^k a_n = a_1 + a_2 + \dots + a_k, \ k \in \mathbb{N} A^t : transposta da matriz A
\sum_{n=0}^k a_n x^n = a_0 + a_1 x + \dots + a_k x^k, \ k \in \mathbb{N} A^{-1} : inversa da matriz inversível A

\mathcal{P}(A) : conjunto de todos os subconjuntos do conjunto A

n(A) : número de elementos do conjunto finito A

\text{Arg } z : argumento principal de z \in \mathbb{C} \backslash \{0\}, \text{Arg } z \in [0, 2\pi[

f \circ g : função composta das funções f e g

f \cdot g : produto das funções f e g

Observação: Os sistemas de coordenadas considerados são cartesianos retangulares.

Sejam f, g : R \to R tais que f é par e g é ímpar. Das seguintes afirmações:

I. f \cdot g é ímpar,

II. f \circ g é par,

III. g \circ f é ímpar,

é (são) verdadeira(s)

  1. A
    apenas I.
  2. B
    apenas II.
  3. C
    apenas III.
  4. D
    apenas I e II.
  5. E
    todas.
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Resolução comentada

Lembre as definições: f é par se f(-x)=f(x) e g é ímpar se g(-x)=-g(x), para todo x real.

I. Calculamos (f\cdot g)(-x):

(f\cdot g)(-x)=f(-x)\,g(-x)=f(x)\cdot(-g(x))=-(f\cdot g)(x)

Logo f\cdot g é ímpar. Verdadeira.

II. Calculamos (f\circ g)(-x):

(f\circ g)(-x)=f(g(-x))=f(-g(x))

Como f é par, f(-g(x))=f(g(x))=(f\circ g)(x). Logo f\circ g é par. Verdadeira.

III. Calculamos (g\circ f)(-x):

(g\circ f)(-x)=g(f(-x))=g(f(x))=(g\circ f)(x)

Isso mostra que g\circ f é par, não ímpar. Para confirmar, tome f(x)=x^2 e g(x)=x: então g\circ f(x)=x^2, que é par e não é ímpar. Falsa.

Só I e II são verdadeiras.

Alternativa D.

Pegadinha: A alternativa E engana quem acha que a composição g\circ f herda a imparidade de g; como f é par, ela entra primeiro e torna g\circ f par.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • AIgnora que f\circ g também é par, pois f(-g(x))=f(g(x)).
  • BEsquece que o produto de uma par por uma ímpar é ímpar, então I também é verdadeira.
  • CAcha que g\circ f é ímpar, mas g(f(-x))=g(f(x)) a torna par.
  • EInclui a III, que é falsa: g\circ f é par.

Assunto: Conceito de função, composta e inversa.

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Fonte: ITA 2010 · Matemática. Prova oficial ↗