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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 5 (Matemática) do ITA 2010

Matemática · Matemática: Progressão aritmética

Texto-base das questões 01 a 20 · Matemática
\mathbb{N} = \{1, 2, 3, \dots\} \mathbb{C} : conjunto dos números complexos
\mathbb{R} : conjunto dos números reais i : unidade imaginária: i^2 = -1
[a, b] = \{x \in \mathbb{R}; \ a \le x \le b\} \vert z \vert : módulo do número z \in \mathbb{C}
[a, b[ = \{x \in \mathbb{R}; \ a \le x < b\} \overline{z} : conjugado do número z \in \mathbb{C}
]a, b[ = \{x \in \mathbb{R}; \ a < x < b\} M_{m \times n}(\mathbb{R}) : conjunto das matrizes reais m \times n
A \backslash B = \{x; \ x \in A \text{ e } x \notin B\} \det A : determinante da matriz A
\sum_{n=1}^k a_n = a_1 + a_2 + \dots + a_k, \ k \in \mathbb{N} A^t : transposta da matriz A
\sum_{n=0}^k a_n x^n = a_0 + a_1 x + \dots + a_k x^k, \ k \in \mathbb{N} A^{-1} : inversa da matriz inversível A

\mathcal{P}(A) : conjunto de todos os subconjuntos do conjunto A

n(A) : número de elementos do conjunto finito A

\text{Arg } z : argumento principal de z \in \mathbb{C} \backslash \{0\}, \text{Arg } z \in [0, 2\pi[

f \circ g : função composta das funções f e g

f \cdot g : produto das funções f e g

Observação: Os sistemas de coordenadas considerados são cartesianos retangulares.

Considere a progressão aritmética (a_1, a_2, \text{...}, a_{50}) de razão d. Se \sum_{n=1}^{10} a_n = 10 + 25d e \sum_{n=1}^{50} a_n = 4550, então d - a_1 é igual a

  1. A
    3.
  2. B
    6.
  3. C
    9.
  4. D
    11.
  5. E
    14.
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Resolução comentada

Em uma PA, a soma dos n primeiros termos é S_n = \dfrac{n\,[2a_1 + (n-1)d]}{2}.

  1. Para n=10: S_{10} = 5\,(2a_1 + 9d) = 10a_1 + 45d.

O enunciado diz que S_{10} = 10 + 25d, então:

10a_1 + 45d = 10 + 25d \Rightarrow 10a_1 + 20d = 10 \Rightarrow a_1 + 2d = 1.
  1. Para n=50: S_{50} = 25\,(2a_1 + 49d) = 4550, logo:
2a_1 + 49d = 182.
  1. Da primeira equação, a_1 = 1 - 2d. Substituindo na segunda:
2(1-2d) + 49d = 182 \Rightarrow 2 + 45d = 182 \Rightarrow d = 4.

  1. Então a_1 = 1 - 8 = -7.

  2. Por fim, d - a_1 = 4 - (-7) = 11.

Conferindo: S_{10} = 10(-7) + 45\cdot 4 = 110 e 10 + 25\cdot 4 = 110. ✓

Alternativa D.

Pegadinha: Quem esquece que a_1=-7 é negativo calcula 4-7=-3 ou 4+7 errado; o sinal de -a_1 muda o resultado para 11.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • AValor sem relação com d=4 e a_1=-7; provavelmente vem de erro de conta na resolução do sistema.
  • BNão corresponde a d - a_1; resulta de erro ao montar ou resolver as somas.
  • CResultado de erro de cálculo no sistema, não bate com d=4 e a_1=-7.
  • EValor sem base nas contas; ignora o sinal negativo de a_1 ou erra a soma dos termos.

Assunto: Progressão aritmética.

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Fonte: ITA 2010 · Matemática. Prova oficial ↗