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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 4 (Matemática) do ITA 2010

Matemática · Matemática: Números complexos

Texto-base das questões 01 a 20 · Matemática
\mathbb{N} = \{1, 2, 3, \dots\} \mathbb{C} : conjunto dos números complexos
\mathbb{R} : conjunto dos números reais i : unidade imaginária: i^2 = -1
[a, b] = \{x \in \mathbb{R}; \ a \le x \le b\} \vert z \vert : módulo do número z \in \mathbb{C}
[a, b[ = \{x \in \mathbb{R}; \ a \le x < b\} \overline{z} : conjugado do número z \in \mathbb{C}
]a, b[ = \{x \in \mathbb{R}; \ a < x < b\} M_{m \times n}(\mathbb{R}) : conjunto das matrizes reais m \times n
A \backslash B = \{x; \ x \in A \text{ e } x \notin B\} \det A : determinante da matriz A
\sum_{n=1}^k a_n = a_1 + a_2 + \dots + a_k, \ k \in \mathbb{N} A^t : transposta da matriz A
\sum_{n=0}^k a_n x^n = a_0 + a_1 x + \dots + a_k x^k, \ k \in \mathbb{N} A^{-1} : inversa da matriz inversível A

\mathcal{P}(A) : conjunto de todos os subconjuntos do conjunto A

n(A) : número de elementos do conjunto finito A

\text{Arg } z : argumento principal de z \in \mathbb{C} \backslash \{0\}, \text{Arg } z \in [0, 2\pi[

f \circ g : função composta das funções f e g

f \cdot g : produto das funções f e g

Observação: Os sistemas de coordenadas considerados são cartesianos retangulares.

Os argumentos principais das soluções da equação em z,

iz + 3\overline{z} + (z + \overline{z})^2 - i = 0,

pertencem a

  1. A
    \left] \frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4} \right[.
  2. B
    \left] \frac{3\pi}{4}, \frac{5\pi}{4} \right[.
  3. C
    \left[ \frac{5\pi}{4}, \frac{3\pi}{2} \right[.
  4. D
    \left] \frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2} \right[ \cup \left] \frac{3\pi}{2}, \frac{7\pi}{4} \right[.
  5. E
    \left] 0, \frac{\pi}{4} \right[ \cup \left] \frac{7\pi}{4}, 2\pi \right[.
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Resolução comentada

Escreva z = x + iy, com x, y reais. Então \overline{z} = x - iy e z + \overline{z} = 2x.

Calculando cada termo:

  • iz = ix - y
  • 3\overline{z} = 3x - 3iy
  • (z+\overline{z})^2 = 4x^2

Substituindo na equação e separando parte real e parte imaginária:

  • Parte real: -y + 3x + 4x^2 = 0
  • Parte imaginária: x - 3y - 1 = 0, ou seja, x = 3y + 1

Substituindo x = 3y+1 na parte real:

  1. -y + 3(3y+1) + 4(3y+1)^2 = 0
  2. -y + 9y + 3 + 36y^2 + 24y + 4 = 0
  3. 36y^2 + 32y + 7 = 0
  4. \Delta = 1024 - 1008 = 16, logo y = \dfrac{-32 \pm 4}{72}

Assim, y = -\dfrac{1}{2} ou y = -\dfrac{7}{18}.

Com x = 3y+1:

  • y = -\frac12 \Rightarrow x = -\frac12, ou seja, z = -\frac12 - \frac12 i.
  • y = -\frac{7}{18} \Rightarrow x = -\frac16, ou seja, z = -\frac16 - \frac{7}{18} i.

Ambas estão no 3º quadrante.

O primeiro número está sobre a diagonal y = x, então seu argumento é \frac{5\pi}{4}.

No segundo, \left|\frac{y}{x}\right| = \frac{7/18}{1/6} = \frac{7}{3} > 1. Logo a reta de z é mais inclinada que a diagonal, e o argumento fica entre \frac{5\pi}{4} e \frac{3\pi}{2}.

Os dois argumentos pertencem a \left[\frac{5\pi}{4}, \frac{3\pi}{2}\right[.

Alternativa C.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • AEsse intervalo está no 1º e 2º quadrantes, mas as soluções têm parte real e imaginária negativas.
  • BInclui \pi a 5\pi/4, mas os dois argumentos são maiores ou iguais a 5\pi/4.
  • DFica no 1º e 4º quadrantes, longe do 3º quadrante onde estão as soluções.
  • ECorresponde a pontos com parte real positiva e módulo da parte imaginária menor que a real, o que não ocorre.

Assunto: Números complexos.

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Fonte: ITA 2010 · Matemática. Prova oficial ↗