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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 3 (Matemática) do ITA 2010

Matemática · Matemática: Números complexos

Texto-base das questões 01 a 20 · Matemática
\mathbb{N} = \{1, 2, 3, \dots\} \mathbb{C} : conjunto dos números complexos
\mathbb{R} : conjunto dos números reais i : unidade imaginária: i^2 = -1
[a, b] = \{x \in \mathbb{R}; \ a \le x \le b\} \vert z \vert : módulo do número z \in \mathbb{C}
[a, b[ = \{x \in \mathbb{R}; \ a \le x < b\} \overline{z} : conjugado do número z \in \mathbb{C}
]a, b[ = \{x \in \mathbb{R}; \ a < x < b\} M_{m \times n}(\mathbb{R}) : conjunto das matrizes reais m \times n
A \backslash B = \{x; \ x \in A \text{ e } x \notin B\} \det A : determinante da matriz A
\sum_{n=1}^k a_n = a_1 + a_2 + \dots + a_k, \ k \in \mathbb{N} A^t : transposta da matriz A
\sum_{n=0}^k a_n x^n = a_0 + a_1 x + \dots + a_k x^k, \ k \in \mathbb{N} A^{-1} : inversa da matriz inversível A

\mathcal{P}(A) : conjunto de todos os subconjuntos do conjunto A

n(A) : número de elementos do conjunto finito A

\text{Arg } z : argumento principal de z \in \mathbb{C} \backslash \{0\}, \text{Arg } z \in [0, 2\pi[

f \circ g : função composta das funções f e g

f \cdot g : produto das funções f e g

Observação: Os sistemas de coordenadas considerados são cartesianos retangulares.

Se z é uma solução da equação em \mathbb{C},

z - \overline{z} + |z|^2 = - \left[ (\sqrt{2} + i) \left( \frac{\sqrt{2}-1}{3} - i\frac{\sqrt{2}+1}{3} \right) \right]^{12},

pode-se afirmar que

  1. A
    i(z - \overline{z}) < 0.
  2. B
    i(z - \overline{z}) > 0.
  3. C
    |z| \in [5, 6].
  4. D
    |z| \in [6, 7].
  5. E
    \left| z + \frac{1}{\overline{z}} \right| > 8.
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Resolução comentada

Primeiro calculamos o lado direito. Seja P=(\sqrt{2}+i)\left(\frac{\sqrt{2}-1}{3}-i\frac{\sqrt{2}+1}{3}\right).

Distribuindo:

  • parte real: \frac{\sqrt2(\sqrt2-1)}{3}+\frac{\sqrt2+1}{3}=\frac{2-\sqrt2+\sqrt2+1}{3}=1;
  • parte imaginária: -\frac{\sqrt2(\sqrt2+1)}{3}+\frac{\sqrt2-1}{3}=\frac{-2-\sqrt2+\sqrt2-1}{3}=-1.

Logo P=1-i. Então P^2=1-2i-1=-2i e P^{12}=(P^2)^6=(-2i)^6=64\,i^6=-64.

O lado direito é -(-64)=64.

Agora, com z=x+iy: z-\overline z=2iy e |z|^2=x^2+y^2. A equação fica

2iy+x^2+y^2=64.

Igualando partes imaginárias: y=0. Igualando partes reais: x^2=64, então x=\pm8. Logo z=\pm 8 e |z|=8.

Testando as alternativas:

  • i(z-\overline z)=i\cdot 0=0, então (A) e (B) são falsas;
  • |z|=8\notin[5,6] nem [6,7], então (C) e (D) são falsas;
  • z+\frac1{\overline z}=z+\frac{z}{|z|^2}=z\left(1+\frac1{64}\right), cujo módulo é 8\cdot\frac{65}{64}=\frac{65}{8}>8. Verdadeira.

Alternativa E.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • Az é real, então z-\overline z=0 e i(z-\overline z)=0, que não é menor que 0.
  • BMesmo erro: o valor é 0, não positivo.
  • CComo |z|=8, o módulo não está em [5,6].
  • DComo |z|=8, o módulo não está em [6,7].

Assunto: Números complexos.

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Fonte: ITA 2010 · Matemática. Prova oficial ↗