Correção ENEM 2026Confira suas respostas do 1º dia com o gabarito dos cursinhos e a resolução das questões, até o INEP publicar o oficialVer a correção
Entrar

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 2 (Matemática) do ITA 2010

Matemática · Matemática: Conjuntos e conjuntos numéricos

Texto-base das questões 01 a 20 · Matemática
\mathbb{N} = \{1, 2, 3, \dots\} \mathbb{C} : conjunto dos números complexos
\mathbb{R} : conjunto dos números reais i : unidade imaginária: i^2 = -1
[a, b] = \{x \in \mathbb{R}; \ a \le x \le b\} \vert z \vert : módulo do número z \in \mathbb{C}
[a, b[ = \{x \in \mathbb{R}; \ a \le x < b\} \overline{z} : conjugado do número z \in \mathbb{C}
]a, b[ = \{x \in \mathbb{R}; \ a < x < b\} M_{m \times n}(\mathbb{R}) : conjunto das matrizes reais m \times n
A \backslash B = \{x; \ x \in A \text{ e } x \notin B\} \det A : determinante da matriz A
\sum_{n=1}^k a_n = a_1 + a_2 + \dots + a_k, \ k \in \mathbb{N} A^t : transposta da matriz A
\sum_{n=0}^k a_n x^n = a_0 + a_1 x + \dots + a_k x^k, \ k \in \mathbb{N} A^{-1} : inversa da matriz inversível A

\mathcal{P}(A) : conjunto de todos os subconjuntos do conjunto A

n(A) : número de elementos do conjunto finito A

\text{Arg } z : argumento principal de z \in \mathbb{C} \backslash \{0\}, \text{Arg } z \in [0, 2\pi[

f \circ g : função composta das funções f e g

f \cdot g : produto das funções f e g

Observação: Os sistemas de coordenadas considerados são cartesianos retangulares.

Considere conjuntos A, B \subset \mathbb{R} e C \subset (A \cup B). Se A \cup B, A \cap C e B \cap C são os domínios das funções reais definidas por \ln(x - \sqrt{\pi}), \sqrt{-x^2 + 6x - 8} e \sqrt{\frac{x - \pi}{5 - x}}, respectivamente, pode-se afirmar que

  1. A
    C = \,]\sqrt{\pi}, 5[.
  2. B
    C = [2, \pi].
  3. C
    C = [2, 5[.
  4. D
    C = [\pi, 4].
  5. E
    C não é intervalo.
Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.
Reportar erro na questão
O que está errado?
Sem cadastro: não guardamos quem enviou.
Resolução comentada

Primeiro, encontramos cada domínio.

  1. A\cup B: \ln(x-\sqrt{\pi}) exige x>\sqrt{\pi}, logo A\cup B=\,]\sqrt{\pi},\infty[.

  2. A\cap C: -x^2+6x-8\ge 0 \iff x^2-6x+8\le 0 \iff 2\le x\le 4, logo A\cap C=[2,4].

  3. B\cap C: \dfrac{x-\pi}{5-x}\ge 0 com x\ne 5. Pelo estudo de sinais, isso ocorre para \pi\le x<5, logo B\cap C=[\pi,5[.

Como C\subset A\cup B, temos C=(A\cap C)\cup(B\cap C), pois todo elemento de C está em A ou em B.

C=[2,4]\cup[\pi,5[

Como \pi\approx 3{,}14<4, os dois intervalos se sobrepõem, e a união é [2,5[.

Conferência: C\subset A\cup B exige C\subset\,]\sqrt{\pi},\infty[. Como \sqrt{\pi}\approx1{,}77<2, está satisfeito.

Alternativa C.

Pegadinha: A alternativa D engana quem faz a interseção [2,4]\cap[\pi,5[ em vez da união; a E engana quem não nota que \pi<4.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • Ausa o limite \sqrt{\pi} do domínio do logaritmo como início de C, esquecendo que C é a união de A\cap C e B\cap C.
  • Bmistura os extremos 2 e \pi dos dois domínios, sem fazer a união.
  • Dtoma a interseção dos dois conjuntos em vez da união.
  • Eacha que [2,4] e [\pi,5[ são separados, mas como \pi<4 eles se sobrepõem e a união é um intervalo.

Assuntos: Conjuntos e conjuntos numéricos, Inequações e desigualdades.

Reportar erro na resolução
O que está errado?
Sem cadastro: não guardamos quem enviou.
Ver como caiu na prova Questão 2 no caderno Matemática do ITA 2010

Fonte: ITA 2010 · Matemática. Prova oficial ↗