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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 17 (Matemática) do ITA 2010

Matemática · Matemática: Circunferência: ângulos, cordas e tangência

Texto-base das questões 01 a 20 · Matemática
\mathbb{N} = \{1, 2, 3, \dots\} \mathbb{C} : conjunto dos números complexos
\mathbb{R} : conjunto dos números reais i : unidade imaginária: i^2 = -1
[a, b] = \{x \in \mathbb{R}; \ a \le x \le b\} \vert z \vert : módulo do número z \in \mathbb{C}
[a, b[ = \{x \in \mathbb{R}; \ a \le x < b\} \overline{z} : conjugado do número z \in \mathbb{C}
]a, b[ = \{x \in \mathbb{R}; \ a < x < b\} M_{m \times n}(\mathbb{R}) : conjunto das matrizes reais m \times n
A \backslash B = \{x; \ x \in A \text{ e } x \notin B\} \det A : determinante da matriz A
\sum_{n=1}^k a_n = a_1 + a_2 + \dots + a_k, \ k \in \mathbb{N} A^t : transposta da matriz A
\sum_{n=0}^k a_n x^n = a_0 + a_1 x + \dots + a_k x^k, \ k \in \mathbb{N} A^{-1} : inversa da matriz inversível A

\mathcal{P}(A) : conjunto de todos os subconjuntos do conjunto A

n(A) : número de elementos do conjunto finito A

\text{Arg } z : argumento principal de z \in \mathbb{C} \backslash \{0\}, \text{Arg } z \in [0, 2\pi[

f \circ g : função composta das funções f e g

f \cdot g : produto das funções f e g

Observação: Os sistemas de coordenadas considerados são cartesianos retangulares.

Considere as circunferências C_1 : (x-4)^2+(y-3)^2 = 4 e C_2 : (x-10)^2+(y-11)^2 = 9. Seja r uma reta tangente interna a C_1 e C_2, isto é, r tangencia C_1 e C_2 e intercepta o segmento de reta \overline{O_1O_2} definido pelos centros O_1 de C_1 e O_2 de C_2. Os pontos de tangência definem um segmento sobre r que mede

  1. A
    5\sqrt{3}.
  2. B
    4\sqrt{5}.
  3. C
    3\sqrt{6}.
  4. D
    \dfrac{25}{3}.
  5. E
    9.
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Resolução comentada

Os centros e raios são O_1=(4,3), r_1=2 e O_2=(10,11), r_2=3.

A distância entre os centros é:

d=\sqrt{(10-4)^2+(11-3)^2}=\sqrt{36+64}=10.

Como d=10>r_1+r_2=5, as circunferências são exteriores e existem tangentes internas.

Seja r uma tangente interna, tocando C_1 em T_1 e C_2 em T_2. Os raios O_1T_1 e O_2T_2 são perpendiculares a r, portanto paralelos entre si. Se P é o ponto onde r cruza \overline{O_1O_2}, os triângulos O_1T_1P e O_2T_2P são semelhantes.

O fato é que o segmento T_1T_2 pode ser obtido assim: tracemos por O_1 uma paralela a r e por O_2 uma perpendicular a ela. Forma-se um triângulo retângulo com:

  • hipotenusa O_1O_2 = d = 10;
  • um cateto igual a r_1+r_2 = 2+3 = 5 (soma dos raios, pois os raios ficam em lados opostos de r);
  • o outro cateto, que é o comprimento T_1T_2 procurado.

Por Pitágoras:

T_1T_2=\sqrt{d^2-(r_1+r_2)^2}=\sqrt{100-25}=\sqrt{75}=5\sqrt{3}.

Alternativa A.

Pegadinha: Usar a diferença dos raios (fórmula da tangente externa, \sqrt{100-1}) em vez da soma dos raios, que é a da tangente interna.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • B4\sqrt{5}=\sqrt{80} não resulta de nenhuma fórmula correta; seria um erro de conta.
  • C3\sqrt{6}=\sqrt{54} não corresponde à fórmula da tangente interna.
  • D25/3 viria de uma razão de semelhança mal aplicada, não do comprimento pedido.
  • E9 não decorre de \sqrt{100-25}; seria resultado de conta incorreta.

Assuntos: Circunferência: ângulos, cordas e tangência, Teorema de Pitágoras e relações métricas.

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Fonte: ITA 2010 · Matemática. Prova oficial ↗