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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 16 (Matemática) do ITA 2010

Matemática · Matemática: Identidades, adição de arcos e arco duplo

Texto-base das questões 01 a 20 · Matemática
\mathbb{N} = \{1, 2, 3, \dots\} \mathbb{C} : conjunto dos números complexos
\mathbb{R} : conjunto dos números reais i : unidade imaginária: i^2 = -1
[a, b] = \{x \in \mathbb{R}; \ a \le x \le b\} \vert z \vert : módulo do número z \in \mathbb{C}
[a, b[ = \{x \in \mathbb{R}; \ a \le x < b\} \overline{z} : conjugado do número z \in \mathbb{C}
]a, b[ = \{x \in \mathbb{R}; \ a < x < b\} M_{m \times n}(\mathbb{R}) : conjunto das matrizes reais m \times n
A \backslash B = \{x; \ x \in A \text{ e } x \notin B\} \det A : determinante da matriz A
\sum_{n=1}^k a_n = a_1 + a_2 + \dots + a_k, \ k \in \mathbb{N} A^t : transposta da matriz A
\sum_{n=0}^k a_n x^n = a_0 + a_1 x + \dots + a_k x^k, \ k \in \mathbb{N} A^{-1} : inversa da matriz inversível A

\mathcal{P}(A) : conjunto de todos os subconjuntos do conjunto A

n(A) : número de elementos do conjunto finito A

\text{Arg } z : argumento principal de z \in \mathbb{C} \backslash \{0\}, \text{Arg } z \in [0, 2\pi[

f \circ g : função composta das funções f e g

f \cdot g : produto das funções f e g

Observação: Os sistemas de coordenadas considerados são cartesianos retangulares.

Se os números reais \alpha e \beta, com \alpha + \beta = \frac{4\pi}{3}, 0 \le \alpha \le \beta, maximizam a soma \sen \alpha + \sen \beta, então \alpha é igual a

  1. A
    \frac{\pi\sqrt{3}}{3}.
  2. B
    \frac{2\pi}{3}.
  3. C
    \frac{3\pi}{5}.
  4. D
    \frac{5\pi}{8}.
  5. E
    \frac{7\pi}{12}.
Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.
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Resolução comentada

Use a transformação de soma em produto:

\sen\alpha+\sen\beta = 2\,\sen\frac{\alpha+\beta}{2}\,\cos\frac{\alpha-\beta}{2}
  1. Como \alpha+\beta=\frac{4\pi}{3}, temos \frac{\alpha+\beta}{2}=\frac{2\pi}{3} e \sen\frac{2\pi}{3}=\frac{\sqrt3}{2}.
  2. Então a soma vale \sqrt3\,\cos\frac{\alpha-\beta}{2}.
  3. O máximo do cosseno é 1, atingido quando \alpha-\beta=0, isto é, \alpha=\beta.
  4. Com \alpha=\beta e \alpha+\beta=\frac{4\pi}{3}, obtemos \alpha=\frac{2\pi}{3}.

Confira: \alpha=\beta=\frac{2\pi}{3} respeita 0\le\alpha\le\beta, e a soma é 2\cdot\frac{\sqrt3}{2}=\sqrt3, o valor máximo possível.

Alternativa B.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • AValor sem justificativa; \frac{\pi\sqrt3}{3}\approx1{,}81 não é \frac{2\pi}{3}\approx2{,}09, logo \alpha=\beta não se cumpre.
  • CNão satisfaz \alpha=\beta=\frac{2\pi}{3}; daria \beta\ne\alpha e cosseno menor que 1.
  • DCom \alpha=\frac{5\pi}{8}, \beta\neq\alpha, então a soma não é máxima.
  • ECom \alpha=\frac{7\pi}{12}, \beta\neq\alpha, então a soma não é máxima.

Assuntos: Identidades, adição de arcos e arco duplo, Ciclo trigonométrico e funções trigonométricas.

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Ver como caiu na prova Questão 16 no caderno Matemática do ITA 2010

Fonte: ITA 2010 · Matemática. Prova oficial ↗