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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 11 (Matemática) do ITA 2010

Matemática · Matemática: Combinações e binômio de Newton

Texto-base das questões 01 a 20 · Matemática
\mathbb{N} = \{1, 2, 3, \dots\} \mathbb{C} : conjunto dos números complexos
\mathbb{R} : conjunto dos números reais i : unidade imaginária: i^2 = -1
[a, b] = \{x \in \mathbb{R}; \ a \le x \le b\} \vert z \vert : módulo do número z \in \mathbb{C}
[a, b[ = \{x \in \mathbb{R}; \ a \le x < b\} \overline{z} : conjugado do número z \in \mathbb{C}
]a, b[ = \{x \in \mathbb{R}; \ a < x < b\} M_{m \times n}(\mathbb{R}) : conjunto das matrizes reais m \times n
A \backslash B = \{x; \ x \in A \text{ e } x \notin B\} \det A : determinante da matriz A
\sum_{n=1}^k a_n = a_1 + a_2 + \dots + a_k, \ k \in \mathbb{N} A^t : transposta da matriz A
\sum_{n=0}^k a_n x^n = a_0 + a_1 x + \dots + a_k x^k, \ k \in \mathbb{N} A^{-1} : inversa da matriz inversível A

\mathcal{P}(A) : conjunto de todos os subconjuntos do conjunto A

n(A) : número de elementos do conjunto finito A

\text{Arg } z : argumento principal de z \in \mathbb{C} \backslash \{0\}, \text{Arg } z \in [0, 2\pi[

f \circ g : função composta das funções f e g

f \cdot g : produto das funções f e g

Observação: Os sistemas de coordenadas considerados são cartesianos retangulares.

A expressão (2\sqrt{3} + \sqrt{5})^5 - (2\sqrt{3} - \sqrt{5})^5 é igual a

  1. A
    2630\sqrt{5}.
  2. B
    2690\sqrt{5}.
  3. C
    2712\sqrt{5}.
  4. D
    1584\sqrt{15}.
  5. E
    1604\sqrt{15}.
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Resolução comentada

Em (a+b)^5-(a-b)^5, os termos com potência par de b se cancelam e os termos com potência ímpar de b dobram. Pelo binômio de Newton:

(a+b)^5-(a-b)^5=2\left[\binom51 a^4 b+\binom53 a^2 b^3+\binom55 b^5\right]=2\left[5a^4b+10a^2b^3+b^5\right]

Aqui a=2\sqrt3 e b=\sqrt5. Então:

  1. a^2=12 e a^4=144.
  2. b=\sqrt5, b^3=5\sqrt5 e b^5=25\sqrt5.
  3. 5a^4b=5\cdot144\cdot\sqrt5=720\sqrt5.
  4. 10a^2b^3=10\cdot12\cdot5\sqrt5=600\sqrt5.
  5. b^5=25\sqrt5.

Somando: 720\sqrt5+600\sqrt5+25\sqrt5=1345\sqrt5.

Multiplicando por 2: 2\cdot1345\sqrt5=2690\sqrt5.

Alternativa B.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • AErra a soma dos termos ou algum coeficiente; o correto é 2\cdot1345\sqrt5, e não 2630\sqrt5.
  • CResultado que não sai dos termos do binômio; provavelmente erro de conta nas potências de b.
  • DMantém \sqrt{15}, mas os termos com a^{\text{ímpar}} se cancelam e sobra só \sqrt5.
  • ETambém deixa \sqrt{15}, que não aparece no resultado após o cancelamento dos termos.

Assuntos: Combinações e binômio de Newton, Potenciação e radiciação.

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Fonte: ITA 2010 · Matemática. Prova oficial ↗