Correção ENEM 2026Confira suas respostas do 1º dia com o gabarito dos cursinhos e a resolução das questões, até o INEP publicar o oficialVer a correção
Entrar

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 5 (Matemática) do ITA 2009

Matemática · Matemática: Equações polinomiais e relações de Girard

Texto-base das questões 01 a 20 · Matemática

\mathbb{N} = \{1, 2, 3, \ldots\}
\mathbb{R} : conjunto dos números reais
\mathbb{C} : conjunto dos números complexos
[a, b] = \{x \in \mathbb{R};\ a \le x \le b\}
(a, +\infty) = {]a, +\infty[} = \{x \in \mathbb{R};\ a < x < +\infty\}
A\backslash B = \{x \in A;\ x \notin B\}
A^C : complementar do conjunto A
i : unidade imaginária: i^2 = -1
|z| : módulo do número z \in \mathbb{C}
\operatorname{Re} z : parte real do número z \in \mathbb{C}
\operatorname{Im} z : parte imaginária do número z \in \mathbb{C}
M_{m \times n}(\mathbb{R}) : conjunto das matrizes reais m \times n
A^t : transposta da matriz A
\det A : determinante da matriz A

P(A) : conjunto de todos os subconjuntos do conjunto A
n(A) : número de elementos do conjunto finito A
\overline{AB} : segmento de reta unindo os pontos A e B
tr A : soma dos elementos da diagonal principal da matriz quadrada A

Observação: Os sistemas de coordenadas considerados são cartesianos retangulares.

O polinômio de grau 4

(a + 2b + c)x^4 + (a + b + c)x^3 - (a - b)x^2 + (2a - b + c)x + 2(a + c),

com a, b, c \in \mathbb{R}, é uma função par. Então, a soma dos módulos de suas raízes é igual a

  1. A
    3 + \sqrt{3}.
  2. B
    2 + 3\sqrt{3}.
  3. C
    2 + \sqrt{2}.
  4. D
    1 + 2\sqrt{2}.
  5. E
    2 + 2\sqrt{2}.
Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.
Reportar erro na questão
O que está errado?
Sem cadastro: não guardamos quem enviou.
Resolução comentada

Uma função polinomial é par quando só tem potências pares de x. Então os coeficientes de x^3 e de x devem ser nulos:

  1. a + b + c = 0
  2. 2a - b + c = 0

Subtraindo a (1) da (2): a - 2b = 0, logo a = 2b. Em (1): c = -a - b = -3b.

Substituindo nos demais coeficientes:

  • x^4: a + 2b + c = 2b + 2b - 3b = b
  • x^2: -(a - b) = -(2b - b) = -b
  • termo independente: 2(a + c) = 2(2b - 3b) = -2b

O polinômio fica b\,x^4 - b\,x^2 - 2b = b\,(x^4 - x^2 - 2), com b \neq 0 (senão o grau não seria 4).

Fazendo y = x^2: y^2 - y - 2 = 0, cujas raízes são y = 2 e y = -1.

  • x^2 = 2 \Rightarrow x = \pm\sqrt{2}, com módulos \sqrt{2} cada.
  • x^2 = -1 \Rightarrow x = \pm i, com módulos 1 cada.

Soma dos módulos das quatro raízes:

\sqrt{2} + \sqrt{2} + 1 + 1 = 2 + 2\sqrt{2}.

Alternativa E.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • ANão corresponde a nenhuma combinação das raízes \pm\sqrt{2} e \pm i; valor sem relação com o cálculo.
  • BEnvolve \sqrt{3}, que não aparece, pois as raízes de y^2-y-2 são 2 e -1.
  • CConta cada par de raízes só uma vez (\sqrt{2}+1 dobrado erradamente), esquecendo as raízes imaginárias ou uma raiz de cada par.
  • DSoma 1+2\sqrt{2} esquece que \pm i contribuem com 2 no total, contando só um módulo 1.

Assuntos: Equações polinomiais e relações de Girard, Conceito de função, composta e inversa.

Reportar erro na resolução
O que está errado?
Sem cadastro: não guardamos quem enviou.
Ver como caiu na prova Questão 5 no caderno Matemática do ITA 2009

Fonte: ITA 2009 · Matemática. Prova oficial ↗