Questão 20 (Matemática) do ITA 2009

Question

Os pontos A = (3, 4) e B = (4, 3) são vértices de um cubo, em que AB é uma das arestas. A área lateral do octaedro cujos vértices são os pontos médios da face do cubo é igual a

A
\sqrt{8}.
B
3.
C
\sqrt{12}.
D
4.
E
\sqrt{18}.

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 20 (Matemática) do ITA 2009

Matemática · Matemática: Poliedros e relação de Euler

Texto-base das questões 01 a 20 · Matemática

\mathbb{N} = \{1, 2, 3, \ldots\}
\mathbb{R} : conjunto dos números reais
\mathbb{C} : conjunto dos números complexos
[a, b] = \{x \in \mathbb{R};\ a \le x \le b\}
(a, +\infty) = {]a, +\infty[} = \{x \in \mathbb{R};\ a < x < +\infty\}
A\backslash B = \{x \in A;\ x \notin B\}
A^C : complementar do conjunto A
i : unidade imaginária: i^2 = -1
|z| : módulo do número z \in \mathbb{C}
\operatorname{Re} z : parte real do número z \in \mathbb{C}
\operatorname{Im} z : parte imaginária do número z \in \mathbb{C}
M_{m \times n}(\mathbb{R}) : conjunto das matrizes reais m \times n
A^t : transposta da matriz A
\det A : determinante da matriz A

P(A) : conjunto de todos os subconjuntos do conjunto A
n(A) : número de elementos do conjunto finito A
\overline{AB} : segmento de reta unindo os pontos A e B
tr A : soma dos elementos da diagonal principal da matriz quadrada A

Observação: Os sistemas de coordenadas considerados são cartesianos retangulares.

Os pontos A = (3, 4) e B = (4, 3) são vértices de um cubo, em que AB é uma das arestas. A área lateral do octaedro cujos vértices são os pontos médios da face do cubo é igual a

A
\sqrt{8}.
B
3.
C
\sqrt{12}.
D
4.
E
\sqrt{18}.

Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.

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Resolução comentada

Os pontos A=(3,4) e B=(4,3) dão a aresta do cubo: AB=\sqrt{(4-3)^2+(3-4)^2}=\sqrt{2}. Logo, a=\sqrt{2}.

Os pontos médios das 6 faces de um cubo são os vértices de um octaedro regular. Cada vértice fica no centro de uma face, e os vértices de faces adjacentes distam a metade da diagonal da face:

Diagonal da face: a\sqrt{2}=\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}=2.
Aresta do octaedro: metade da diagonal da face, ou seja, \ell=\dfrac{a\sqrt{2}}{2}=1.

Confirmando por coordenadas: os centros de duas faces adjacentes, como (0,0,\tfrac a2) e (\tfrac a2,0,0) com o centro do cubo na origem, distam \sqrt{\tfrac{a^2}{4}+\tfrac{a^2}{4}}=\dfrac{a}{\sqrt2}=\dfrac{\sqrt2}{\sqrt2}=1.

O octaedro regular tem 8 faces, que são triângulos equiláteros de lado \ell=1. A área de cada uma é \dfrac{\ell^2\sqrt3}{4}=\dfrac{\sqrt3}{4}.

Área lateral (total das 8 faces):

8\cdot\frac{\sqrt3}{4}=2\sqrt3=\sqrt{12}.

Alternativa C.

Por que as outras alternativas estão erradas

A\sqrt{8} não corresponde à área de 8 triângulos equiláteros de lado 1; surge de erro na aresta ou na área da face.
B3 não resulta de 8\cdot\frac{\sqrt3}{4}; ignora o fator \sqrt3 da área do triângulo equilátero.
D4 seria 8\cdot\frac12, usando área de triângulo retângulo em vez de equilátero.
E\sqrt{18} vem de aresta do octaedro incorreta (por exemplo, tomar a aresta do cubo ou a diagonal como lado).

Assuntos: Poliedros e relação de Euler, Ponto e reta no plano cartesiano.

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Questão 20 no caderno Matemática do ITA 2009

Fonte: ITA 2009 · Matemática. Prova oficial ↗