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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 16 (Matemática) do ITA 2009

Matemática · Matemática: Cônicas e lugares geométricos

Texto-base das questões 01 a 20 · Matemática

\mathbb{N} = \{1, 2, 3, \ldots\}
\mathbb{R} : conjunto dos números reais
\mathbb{C} : conjunto dos números complexos
[a, b] = \{x \in \mathbb{R};\ a \le x \le b\}
(a, +\infty) = {]a, +\infty[} = \{x \in \mathbb{R};\ a < x < +\infty\}
A\backslash B = \{x \in A;\ x \notin B\}
A^C : complementar do conjunto A
i : unidade imaginária: i^2 = -1
|z| : módulo do número z \in \mathbb{C}
\operatorname{Re} z : parte real do número z \in \mathbb{C}
\operatorname{Im} z : parte imaginária do número z \in \mathbb{C}
M_{m \times n}(\mathbb{R}) : conjunto das matrizes reais m \times n
A^t : transposta da matriz A
\det A : determinante da matriz A

P(A) : conjunto de todos os subconjuntos do conjunto A
n(A) : número de elementos do conjunto finito A
\overline{AB} : segmento de reta unindo os pontos A e B
tr A : soma dos elementos da diagonal principal da matriz quadrada A

Observação: Os sistemas de coordenadas considerados são cartesianos retangulares.

A distância entre o vértice e o foco da parábola de equação 2x^2 - 4x - 4y + 3 = 0 é igual a

  1. A
    2.
  2. B
    \dfrac{3}{2}.
  3. C
    1.
  4. D
    \dfrac{3}{4}.
  5. E
    \dfrac{1}{2}.
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Resolução comentada

Para achar a distância entre vértice e foco, escreva a parábola na forma reduzida (x-h)^2 = 4p\,(y-k). Nela, o vértice é (h,k) e a distância do vértice ao foco é |p|.

  1. Isole os termos em y: 2x^2 - 4x + 3 = 4y.
  2. Divida tudo por 2: x^2 - 2x + \dfrac{3}{2} = 2y.
  3. Complete o quadrado: x^2 - 2x = (x-1)^2 - 1. Então (x-1)^2 - 1 + \dfrac{3}{2} = 2y, ou seja, (x-1)^2 + \dfrac{1}{2} = 2y.
  4. Passe o \dfrac12 para o outro lado: (x-1)^2 = 2y - \dfrac{1}{2} = 2\left(y - \dfrac{1}{4}\right).
  5. Compare com (x-h)^2 = 4p\,(y-k): o vértice é \left(1, \dfrac14\right) e 4p = 2, logo p = \dfrac{1}{2}.

Como p>0, a parábola abre para cima e o foco é \left(1, \dfrac14 + \dfrac12\right) = \left(1, \dfrac34\right).

A distância entre vértice e foco é \dfrac34 - \dfrac14 = \dfrac12.

Alternativa E.

Pegadinha: A alternativa D engana: \frac34 é a ordenada do foco, não a distância até o vértice, que fica em y=\frac14.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • AValor sem relação com p; não vem da forma reduzida da parábola.
  • BNão corresponde a p; resulta de erro ao completar o quadrado ou ao manipular o termo constante.
  • CToma 4p = 2 como p=1 ou confunde p com o coeficiente de y sem dividir por 4.
  • DUsa a ordenada do foco, \frac34, como se fosse a distância ao vértice.

Assuntos: Cônicas e lugares geométricos, Expressões algébricas, produtos notáveis e fatoração.

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Fonte: ITA 2009 · Matemática. Prova oficial ↗