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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 5 (Matemática) do ITA 2008

Matemática · Matemática: Progressão geométrica

Texto-base das questões 01 a 20 · Matemática
\mathbb{N} = \{0, 1, 2, 3, \dots\} i : unidade imaginária; i^2 = -1
\mathbb{Z} : conjunto dos números inteiros \lvert z \rvert : módulo do número z \in \mathbb{C}
\mathbb{R} : conjunto dos números reais \overline{z} : conjugado do número z \in \mathbb{C}
\mathbb{C} : conjunto dos números complexos \operatorname{Re} z : parte real de z \in \mathbb{C}
\emptyset : conjunto vazio \operatorname{Im} z : parte imaginária de z \in \mathbb{C}
[a, b] = \{x \in \mathbb{R}; a \le x \le b\} I : matriz identidade
(a, b) = {]a, b[} = \{x \in \mathbb{R}; a < x < b\} A^{-1} : inversa da matriz inversível A
[a, b) = {[a, b[} = \{x \in \mathbb{R}; a \le x < b\} A^t : transposta da matriz A
(a, b] = {]a, b]} = \{x \in \mathbb{R}; a < x \le b\} \det A : determinante da matriz A
A - B = \{x \in A; x \notin B\} A^C : complementar de A

\mathcal{P}(A) : coleção de todos os subconjuntos de A

\overline{AB} : segmento de reta unindo os pontos A e B

\overset{\frown}{AB} : arco de circunferência de extremidades A e B

Observação: Os sistemas de coordenadas considerados são cartesianos ortogonais.

Um polinômio P é dado pelo produto de 5 polinômios cujos graus formam uma progressão geométrica. Se o polinômio de menor grau tem grau igual a 2 e o grau de P é 62, então o de maior grau tem grau igual a

  1. A
    30
  2. B
    32
  3. C
    34
  4. D
    36
  5. E
    38
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Resolução comentada

Ao multiplicar polinômios, os graus se somam. Logo, a soma dos graus dos 5 polinômios é o grau de P, ou seja, 62.

Os graus formam uma PG de 5 termos com primeiro termo 2 (o menor grau). Seja q a razão. Os graus são 2,\ 2q,\ 2q^2,\ 2q^3,\ 2q^4.

  1. Soma da PG: 2(1+q+q^2+q^3+q^4)=62.
  2. Dividindo por 2: 1+q+q^2+q^3+q^4=31.
  3. Testando q=2: 1+2+4+8+16=31. Funciona.

Como os graus são inteiros e o menor é 2 (os termos crescem se q>1), q=2 é a razão. Para q positivo a soma é crescente, então essa é a única solução positiva. Valores negativos de q dariam graus negativos, o que é impossível.

Os graus são 2,4,8,16,32, cuja soma é 62. O maior grau é 2q^4=2\cdot 16=32.

Alternativa B.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • ANão corresponde a nenhum termo da PG de razão 2 (2, 4, 8, 16, 32); 30 é só 62 − 32.
  • CNão é termo da PG que soma 62; resulta de erro de conta na razão.
  • DNão é termo da PG com soma 62; não satisfaz a equação.
  • ENão é termo da PG com soma 62; não satisfaz a equação.

Assuntos: Progressão geométrica, Polinômios.

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Fonte: ITA 2008 · Matemática. Prova oficial ↗