Correção FUVEST 2027 · 1ª faseAcompanhe a resolução de cada questão da 1ª fase, ao vivoAcompanhar
Entrar

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 20 (Matemática) do ITA 2008

Matemática · Matemática: Teorema de Pitágoras e relações métricas

Texto-base das questões 01 a 20 · Matemática
\mathbb{N} = \{0, 1, 2, 3, \dots\} i : unidade imaginária; i^2 = -1
\mathbb{Z} : conjunto dos números inteiros \lvert z \rvert : módulo do número z \in \mathbb{C}
\mathbb{R} : conjunto dos números reais \overline{z} : conjugado do número z \in \mathbb{C}
\mathbb{C} : conjunto dos números complexos \operatorname{Re} z : parte real de z \in \mathbb{C}
\emptyset : conjunto vazio \operatorname{Im} z : parte imaginária de z \in \mathbb{C}
[a, b] = \{x \in \mathbb{R}; a \le x \le b\} I : matriz identidade
(a, b) = {]a, b[} = \{x \in \mathbb{R}; a < x < b\} A^{-1} : inversa da matriz inversível A
[a, b) = {[a, b[} = \{x \in \mathbb{R}; a \le x < b\} A^t : transposta da matriz A
(a, b] = {]a, b]} = \{x \in \mathbb{R}; a < x \le b\} \det A : determinante da matriz A
A - B = \{x \in A; x \notin B\} A^C : complementar de A

\mathcal{P}(A) : coleção de todos os subconjuntos de A

\overline{AB} : segmento de reta unindo os pontos A e B

\overset{\frown}{AB} : arco de circunferência de extremidades A e B

Observação: Os sistemas de coordenadas considerados são cartesianos ortogonais.

Sejam r e s duas retas paralelas distando 10\text{ cm} entre si. Seja P um ponto no plano definido por r e s e exterior à região limitada por estas retas, distando 5\text{ cm} de r. As respectivas medidas da área e do perímetro, em \text{cm}^2 e \text{cm}, do triângulo equilátero PQR cujos vértices Q e R estão, respectivamente, sobre as retas r e s, são iguais a

  1. A
    175\dfrac{\sqrt{3}}{3} e 5\sqrt{21}
  2. B
    175\dfrac{\sqrt{3}}{3} e 10\sqrt{21}
  3. C
    175\sqrt{3} e 10\sqrt{21}
  4. D
    175\sqrt{3} e 5\sqrt{21}
  5. E
    700 e 10\sqrt{21}
Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.
Reportar erro na questão
O que está errado?
Sem cadastro: não guardamos quem enviou.
Resolução comentada

Monte coordenadas: seja r a reta y=0 e s a reta y=10. P é exterior à faixa e dista 5 de r, então P=(0,-5). O vértice Q está em r: Q=(a,0). O vértice R está em s: R=(b,10).

Como PQR é equilátero, R se obtém girando Q em torno de P por 60^\circ. Vetor PQ=(a,5). Girando 60^\circ:

y_R-y_P = a\,\sen 60^\circ+5\cos 60^\circ=\frac{a\sqrt{3}}{2}+\frac{5}{2}

Como R está em y=10, temos y_R-y_P=15:

\frac{a\sqrt{3}}{2}+\frac{5}{2}=15 \Rightarrow a\sqrt{3}=25 \Rightarrow a=\frac{25\sqrt{3}}{3}

(A rotação no outro sentido daria -a\sqrt3/2+5/2=15, ou seja, a negativo, com o mesmo lado por simetria.)

Lado: \ell^2=PQ^2=a^2+25=\dfrac{625\cdot 3}{9}+25=\dfrac{625}{3}+\dfrac{75}{3}=\dfrac{700}{3}.

Assim, \ell=\dfrac{10\sqrt{7}}{\sqrt{3}}=\dfrac{10\sqrt{21}}{3}.

Perímetro: 3\ell=10\sqrt{21}.

Área: \dfrac{\ell^2\sqrt{3}}{4}=\dfrac{700}{3}\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{4}=\dfrac{175\sqrt{3}}{3}.

Alternativa B.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • AÁrea correta, mas o perímetro 5\sqrt{21} é metade do valor real (erro no lado).
  • CPerímetro correto, mas a área 175\sqrt{3} é o triplo da real; esqueceu de dividir por 3.
  • DÁrea e perímetro estão ambos errados.
  • EÁrea 700 não tem o fator \sqrt{3}/12 da fórmula da área do triângulo equilátero; confunde \ell^2 com a área.

Assuntos: Teorema de Pitágoras e relações métricas, Áreas e perímetros de polígonos.

Reportar erro na resolução
O que está errado?
Sem cadastro: não guardamos quem enviou.
Ver como caiu na prova Questão 20 no caderno Matemática do ITA 2008

Fonte: ITA 2008 · Matemática. Prova oficial ↗