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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 19 (Matemática) do ITA 2008

Matemática · Matemática: Conjuntos e conjuntos numéricos

Texto-base das questões 01 a 20 · Matemática
\mathbb{N} = \{0, 1, 2, 3, \dots\} i : unidade imaginária; i^2 = -1
\mathbb{Z} : conjunto dos números inteiros \lvert z \rvert : módulo do número z \in \mathbb{C}
\mathbb{R} : conjunto dos números reais \overline{z} : conjugado do número z \in \mathbb{C}
\mathbb{C} : conjunto dos números complexos \operatorname{Re} z : parte real de z \in \mathbb{C}
\emptyset : conjunto vazio \operatorname{Im} z : parte imaginária de z \in \mathbb{C}
[a, b] = \{x \in \mathbb{R}; a \le x \le b\} I : matriz identidade
(a, b) = {]a, b[} = \{x \in \mathbb{R}; a < x < b\} A^{-1} : inversa da matriz inversível A
[a, b) = {[a, b[} = \{x \in \mathbb{R}; a \le x < b\} A^t : transposta da matriz A
(a, b] = {]a, b]} = \{x \in \mathbb{R}; a < x \le b\} \det A : determinante da matriz A
A - B = \{x \in A; x \notin B\} A^C : complementar de A

\mathcal{P}(A) : coleção de todos os subconjuntos de A

\overline{AB} : segmento de reta unindo os pontos A e B

\overset{\frown}{AB} : arco de circunferência de extremidades A e B

Observação: Os sistemas de coordenadas considerados são cartesianos ortogonais.

Sejam X, Y, Z, W subconjuntos de \mathbb{N} tais que (X - Y) \cap Z = \{1, 2, 3, 4\}, Y = \{5, 6\}, Z \cap Y = \emptyset, W \cap (X - Z) = \{7, 8\}, X \cap W \cap Z = \{2, 4\}. Então o conjunto [X \cap (Z \cup W)] - [W \cap (Y \cup Z)] é igual a

  1. A
    \{1, 2, 3, 4, 5\}
  2. B
    \{1, 2, 3, 4, 7\}
  3. C
    \{1, 3, 7, 8\}
  4. D
    \{1, 3\}
  5. E
    \{7, 8\}
Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.
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Resolução comentada

Vamos descobrir quais elementos pertencem a cada conjunto e depois calcular a expressão pedida.

  1. (X-Y)\cap Z=\{1,2,3,4\}: 1, 2, 3, 4 estão em X, em Z e fora de Y (o que já vale, pois Y=\{5,6\}).
  2. W\cap(X-Z)=\{7,8\}: 7 e 8 estão em W e em X, mas fora de Z.
  3. X\cap W\cap Z=\{2,4\}: entre 1, 2, 3, 4, apenas 2 e 4 estão em W. Logo 1 e 3 não estão em W.

Primeiro conjunto: X\cap(Z\cup W).

  • Elementos de X\cap Z: 1, 2, 3, 4 (de X\cap Z fora de Y já temos esses; 5 e 6 não estão em Z, pois Z\cap Y=\emptyset).
  • Elementos de X\cap W: 2, 4 (em Z) e 7, 8 (fora de Z).

Assim, X\cap(Z\cup W)=\{1,2,3,4,7,8\}.

Segundo conjunto: W\cap(Y\cup Z)=(W\cap Y)\cup(W\cap Z).

  • W\cap Z contém 2 e 4. Como os elementos de Z vistos em X são 1, 2, 3, 4, e 1 e 3 não estão em W, só 2 e 4 entram.
  • 7 e 8 não estão em Z e não estão em Y, logo não entram.

Por ora, o segundo conjunto é \{2,4\}, a menos de elementos de W em Y\cup Z fora de X (que não afetam a diferença, pois o primeiro conjunto está dentro de X).

Diferença: \{1,2,3,4,7,8\}-\{2,4\}=\{1,3,7,8\}.

Alternativa C.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • AInclui 2, 4 e 5, ignorando que 2 e 4 estão em W\cap Z e que 5 não está em X\cap(Z\cup W).
  • BNão retira 2 e 4 e omite o 8, que está em X\cap W.
  • DEsquece de incluir 7 e 8, que estão em X\cap W.
  • EEsquece de incluir 1 e 3, que estão em X\cap Z e fora de W.

Assunto: Conjuntos e conjuntos numéricos.

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Fonte: ITA 2008 · Matemática. Prova oficial ↗