Questão 1 (Matemática) do ITA 2008

Question

Considere uma população de igual número de homens e mulheres, em que sejam daltônicos 5\% dos homens e 0{,}25\% das mulheres. Indique a probabilidade de que seja mulher uma pessoa daltônica selecionada ao acaso nessa população.

A
\frac{1}{21}
B
\frac{1}{8}
C
\frac{3}{21}
D
\frac{5}{21}
E
\frac{1}{4}

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 1 (Matemática) do ITA 2008

Matemática · Matemática: Probabilidade condicional

Texto-base das questões 01 a 20 · Matemática

\mathbb{N} = \{0, 1, 2, 3, \dots\}	i : unidade imaginária; i^2 = -1
\mathbb{Z} : conjunto dos números inteiros	\lvert z \rvert : módulo do número z \in \mathbb{C}
\mathbb{R} : conjunto dos números reais	\overline{z} : conjugado do número z \in \mathbb{C}
\mathbb{C} : conjunto dos números complexos	\operatorname{Re} z : parte real de z \in \mathbb{C}
\emptyset : conjunto vazio	\operatorname{Im} z : parte imaginária de z \in \mathbb{C}
[a, b] = \{x \in \mathbb{R}; a \le x \le b\}	I : matriz identidade
(a, b) = {]a, b[} = \{x \in \mathbb{R}; a < x < b\}	A^{-1} : inversa da matriz inversível A
[a, b) = {[a, b[} = \{x \in \mathbb{R}; a \le x < b\}	A^t : transposta da matriz A
(a, b] = {]a, b]} = \{x \in \mathbb{R}; a < x \le b\}	\det A : determinante da matriz A
A - B = \{x \in A; x \notin B\}	A^C : complementar de A

\mathcal{P}(A) : coleção de todos os subconjuntos de A

\overline{AB} : segmento de reta unindo os pontos A e B

\overset{\frown}{AB} : arco de circunferência de extremidades A e B

Observação: Os sistemas de coordenadas considerados são cartesianos ortogonais.

Considere uma população de igual número de homens e mulheres, em que sejam daltônicos 5\% dos homens e 0{,}25\% das mulheres. Indique a probabilidade de que seja mulher uma pessoa daltônica selecionada ao acaso nessa população.

A
\frac{1}{21}
B
\frac{1}{8}
C
\frac{3}{21}
D
\frac{5}{21}
E
\frac{1}{4}

Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.

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Resolução comentada

Como a pergunta é "dado que a pessoa é daltônica, qual a chance de ser mulher?", usamos probabilidade condicional (teorema de Bayes):

P(\text{mulher}\mid \text{daltônica})=\frac{P(\text{mulher e daltônica})}{P(\text{daltônica})}

Seja N o total da população. Há o mesmo número de homens e de mulheres, então cada grupo tem \frac{N}{2} pessoas.

Mulheres daltônicas: 0{,}25\% \cdot \frac{N}{2} = 0{,}0025\cdot\frac{N}{2}.
Homens daltônicos: 5\% \cdot \frac{N}{2} = 0{,}05\cdot\frac{N}{2}.
Total de daltônicos: (0{,}0025+0{,}05)\cdot\frac{N}{2}=0{,}0525\cdot\frac{N}{2}.

Agora a razão (o fator \frac{N}{2} se cancela):

P=\frac{0{,}0025}{0{,}0525}=\frac{25}{525}=\frac{1}{21}

Portanto, entre os daltônicos, apenas \frac{1}{21} são mulheres.

Alternativa A.

Por que as outras alternativas estão erradas

BNão corresponde a nenhuma razão correta; 1/8 não sai de 0,0025/0,0525.
C3/21 = 1/7 não resulta do cálculo; é valor sem base nas porcentagens dadas.
D5/21 não decorre do cálculo; confunde o peso dos grupos.
E1/4 não resulta do cálculo condicional; parece ignorar a proporção 5% e 0,25%.

Assunto: Probabilidade condicional.

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Questão 1 no caderno Matemática do ITA 2008

Fonte: ITA 2008 · Matemática. Prova oficial ↗