PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS
Questão 7 (Física) da 2ª fase do ITA 2027
Texto-base das questões 01 a 10 · Física
Quando necessário, use a seguinte informação:
Para \theta \ll 1 assuma \sen\theta \approx \theta.
Um estudante de engenharia deseja montar um sistema para monitorar, com a máxima precisão, a deformação mecânica de uma viga metálica, minimizando o efeito térmico, por meio de dispositivos resistivos R_i (com i = 1, \text{...}, 4) fixados na viga e ligados em uma ponte de Wheatstone não equilibrada e alimentada por uma fonte ideal de tensão constante V_s. Cada dispositivo utilizado pode ser um resistor de resistência R_0 constante ou um extensômetro de resistência nominal R_0, fator G de calibração e coeficiente térmico linear \alpha. Para pequenas variações, a resistência de um extensômetro varia segundo \frac{\Delta R}{R_0} = G\varepsilon + \alpha\,\Delta T, em que \varepsilon é a deformação mecânica, com \varepsilon > 0 para tração e \varepsilon < 0 para compressão, e \Delta T é a variação de temperatura. A saída da ponte é definida por V_o = V_D - V_B, medida por um voltímetro ideal, conforme ilustra a figura. Considere sempre o regime linear de pequenas variações, de modo que termos quadráticos e produtos entre pequenas correções possam ser desprezados, tais como (\alpha\,\Delta T)^2, \varepsilon^2 e \varepsilon\alpha\,\Delta T e que, se |x| \ll 1, podemos aproximar (1 + x)^{-1} \approx 1 - x. Responda aos itens abaixo.
a) Considerando que o estudante utilizou apenas um extensômetro, enquanto os outros três braços da ponte são resistores de resistência R_0 constante, obtenha o módulo da tensão de saída V_o da ponte, em função de \varepsilon e \Delta T.
b) Suponha agora que o estudante deseja medir \varepsilon com máxima precisão. Considerando que todo o sistema está na mesma temperatura e que, na viga metálica, há pontos de compressão e tração de mesma intensidade, indique em que tipo de ponto (tração ou compressão) cada dispositivo deve ser afixado, apontando se ele deve ser extensômetro ou resistor de resistência constante R_0.
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Resolução comentada
Antes dos itens, vamos achar a tensão de saída para o caso geral. Pela figura, o lado longo da bateria está ligado ao nó A, então V_A=V_s e V_C=0. Cada lado da ponte é um divisor de tensão:
Escrevemos R_i=R_0(1+\delta_i), com \delta_i\ll1. Então:
Logo, em regime linear:
a) Com um único extensômetro, só um dos \delta_i é não nulo, e vale \delta=G\varepsilon+\alpha\Delta T. Por exemplo, com o extensômetro em R_1, \delta_1=\delta:
Se ele estivesse em outro braço, só o sinal mudaria. Por isso o enunciado pede o módulo:
O termo térmico \alpha\Delta T entra somado à deformação e gera erro na medida.
Resposta: |V_o|=\dfrac{V_s}{4}\,|G\varepsilon+\alpha\Delta T|
b) Pela expressão geral, R_2 e R_3 entram com sinal +, e R_1 e R_4 com sinal -. Para a máxima sensibilidade, os quatro braços devem ser extensômetros. Cada um deve ficar num ponto cuja deformação, com o sinal do braço, some às demais. Como o módulo da deformação é o mesmo na tração e na compressão, fazemos \delta_2=\delta_3=+G\varepsilon e \delta_1=\delta_4=-G\varepsilon.
- R_2 e R_3: extensômetros em pontos de tração.
- R_1 e R_4: extensômetros em pontos de compressão.
Com essa escolha:
Isso é 4 vezes a sensibilidade do item (a). Como todos estão à mesma temperatura, os termos \alpha\Delta T se cancelam, pois entram com +1-1-1+1=0. A troca completa (tração em R_1 e R_4, compressão em R_2 e R_3) também serve, apenas invertendo o sinal de V_o.
Resposta: os quatro dispositivos são extensômetros. R_1 e R_4 ficam em pontos de compressão e R_2 e R_3 em pontos de tração (ou o inverso), de modo que |V_o|=V_sG|\varepsilon|, sem efeito térmico.
Assuntos: Associação de resistores, Resistência elétrica e leis de Ohm.
Resultado conferido com as resoluções dos cursinhos Farias Brito e Poliedro.
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Fonte: ITA 2ª fase 2027 · Física. Prova oficial ↗