Questão 5 (Física) da 2ª fase do ITA 2027

Question

Duas fontes de luz pontuais, coerentes e de comprimento de onda \lambda, são colocadas a uma distância horizontal p do vértice de uma interface transparente côncava, de raio R. Essa interface separa o meio de índice de refração n_1, onde estão as fontes, do meio de índice de refração n_2, onde se encontra uma tela a uma distância D da interface. Considere que \lambda \ll p \ll D e n_2 > n_1, conforme mostra a figura. As fontes de luz estão localizadas a uma distância h do eixo de simetria da interface, em semiplanos diametralmente opostos.

Considerando a aproximação paraxial para esse sistema óptico, responda aos itens a seguir, utilizando apenas os parâmetros mencionados no enunciado.

Esquema da interface transparente côncava de raio R separando o meio de índice n1 do meio de índice n2, com duas fontes de luz pontuais distantes h do eixo óptico e a uma distância p do vértice, e uma tela a uma distância D.

a) Determine a expressão da posição horizontal p' da imagem das fontes pontuais com relação à interface e determine as posições verticais da imagem das fontes pontuais em função de n_1, n_2, R e p.

b) Determine a distância entre o ponto luminoso central e a primeira franja luminosa do padrão de interferência projetado na tela quando R \rightarrow \infty.

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 5 (Física) da 2ª fase do ITA 2027

Física · Física: Refração da luz e lei de Snell

Texto-base das questões 01 a 10 · Física

Quando necessário, use a seguinte informação:

Para \theta \ll 1 assuma \sen\theta \approx \theta.

Duas fontes de luz pontuais, coerentes e de comprimento de onda \lambda, são colocadas a uma distância horizontal p do vértice de uma interface transparente côncava, de raio R. Essa interface separa o meio de índice de refração n_1, onde estão as fontes, do meio de índice de refração n_2, onde se encontra uma tela a uma distância D da interface. Considere que \lambda \ll p \ll D e n_2 > n_1, conforme mostra a figura. As fontes de luz estão localizadas a uma distância h do eixo de simetria da interface, em semiplanos diametralmente opostos.

Considerando a aproximação paraxial para esse sistema óptico, responda aos itens a seguir, utilizando apenas os parâmetros mencionados no enunciado.

Esquema da interface transparente côncava de raio R separando o meio de índice n1 do meio de índice n2, com duas fontes de luz pontuais distantes h do eixo óptico e a uma distância p do vértice, e uma tela a uma distância D.

a) Determine a expressão da posição horizontal p' da imagem das fontes pontuais com relação à interface e determine as posições verticais da imagem das fontes pontuais em função de n_1, n_2, R e p.

b) Determine a distância entre o ponto luminoso central e a primeira franja luminosa do padrão de interferência projetado na tela quando R \rightarrow \infty.

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Resolução comentada

a) Esta é uma refração em dioptro esférico na aproximação paraxial. A luz vai de n_1 para n_2, e o centro de curvatura C fica do lado da luz incidente (lado de n_1). Com a convenção de que R>0 quando o centro está do lado de saída, aqui usamos -R:

\frac{n_1}{p}+\frac{n_2}{p'}=\frac{n_2-n_1}{-R}=\frac{n_1-n_2}{R}

Isolando p':

\frac{n_2}{p'}=-\frac{n_1R+(n_2-n_1)p}{Rp}\ \Rightarrow\ p'=-\frac{n_2\,R\,p}{n_1R+(n_2-n_1)p}

Como p'<0, a imagem é virtual e fica do mesmo lado das fontes, a uma distância |p'|=\dfrac{n_2Rp}{n_1R+(n_2-n_1)p} do vértice.

O aumento lateral é

\frac{y'}{y}=-\frac{n_1p'}{n_2p}=\frac{n_1R}{n_1R+(n_2-n_1)p}>0

Portanto a imagem é direita. Cada fonte, em y=\pm h, forma uma imagem em

y'=\pm\,\frac{n_1R\,h}{n_1R+(n_2-n_1)p}

As duas imagens ficam em semiplanos opostos, simétricas em relação ao eixo.

Resposta: p'=-\dfrac{n_2Rp}{n_1R+(n_2-n_1)p} (imagem virtual) e y'=\pm\dfrac{n_1Rh}{n_1R+(n_2-n_1)p}.

b) Para R\to\infty a interface é plana:

|p'|=\dfrac{n_2}{n_1}p;
y'=\pm h, pois o aumento tende a 1.

As duas imagens são então duas fontes coerentes separadas por d=2h. Elas estão a uma distância D+\frac{n_2}{n_1}p\approx D da tela, porque p\ll D. A interferência acontece no meio n_2, e a luz muda de comprimento de onda ao passar de n_1 para n_2 (a frequência se mantém). Adotando \lambda como o comprimento de onda no meio n_1 (onde estão as fontes):

\lambda_2=\frac{n_1}{n_2}\lambda

A primeira franja brilhante (além da central) satisfaz 2h\,\sen\theta=\lambda_2. Para ângulos pequenos, \sen\theta\approx\theta\approx y/D. Então:

y=\frac{\lambda_2D}{2h}=\frac{n_1\lambda D}{2n_2h}

Se \lambda fosse o comprimento de onda no vácuo, bastaria trocar n_1 por 1 nessa expressão.

Resposta: y=\dfrac{n_1\lambda D}{2n_2h}

Assuntos: Refração da luz e lei de Snell, Fenômenos ondulatórios: interferência, difração e polarização.

Resultado conferido com as resoluções dos cursinhos Farias Brito e Poliedro.

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Questão 5 no caderno Física da 2ª fase do ITA 2027

Fonte: ITA 2ª fase 2027 · Física. Prova oficial ↗