PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS
Questão 4 (Física) da 2ª fase do ITA 2027
Texto-base das questões 01 a 10 · Física
Quando necessário, use a seguinte informação:
Para \theta \ll 1 assuma \sen\theta \approx \theta.
Um cilindro vertical, de seção transversal de área A e com paredes isolantes (adiabáticas), contém n mols de um gás ideal monoatômico. O cilindro é fechado na parte superior por um pistão de espessura desprezível de massa m, também isolante térmico, que pode deslizar verticalmente sem atrito. Inicialmente, há um recipiente de massa desprezível contendo uma quantidade de grãos de areia, que totaliza uma massa M em repouso sobre o pistão. O sistema está em equilíbrio térmico e mecânico, com o pistão a uma altura h_i em relação à base do cilindro. Considerando que a aceleração da gravidade local é g, que a constante universal dos gases é igual a R e que há vácuo acima do pistão, faça o que se pede.
a) Em um dado instante, os grãos de areia são retirados lentamente em um processo quase estático. Determine a altura h_f do pistão no estado final, quando não há mais areia, em função de m, M e h_i.
b) Considere uma nova situação em que toda a quantidade de areia é completamente retirada instantaneamente. Determine a equação que relaciona a altura máxima h_{max} atingida pelo pistão e m, M e h_i.
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Resolução comentada
a) Retirando a areia lentamente, o gás passa por uma transformação adiabática reversível, porque as paredes e o pistão são isolantes. Para o gás monoatômico, \gamma = 5/3, e vale PV^{\gamma}=\text{constante}.
Como há vácuo acima do pistão, o equilíbrio do pistão dá as pressões:
- Inicial: P_i=\dfrac{(m+M)g}{A}.
- Final: P_f=\dfrac{mg}{A}.
O volume é V=Ah. Então:
Resposta: h_f=h_i\left(\dfrac{m+M}{m}\right)^{3/5}
b) Ao retirar a areia de uma vez, o pistão sobe, passa pela posição de equilíbrio e para momentaneamente na altura máxima. Não há atrito, e o gás é isolado termicamente.
Admito que o gás se mantém em equilíbrio interno durante o movimento, pois a velocidade do pistão é muito menor que a do som no gás. Nesse caso, a expansão do gás é adiabática: TV^{2/3}=\text{constante}, ou seja, T\,h^{2/3}=\text{constante}.
A temperatura inicial vem de nRT_i=P_iAh_i=(m+M)g\,h_i. Na altura máxima:
O pistão parte do repouso e termina em repouso, com vácuo acima. Todo o trabalho do gás vira energia potencial do pistão:
Substituindo nRT_{max} e nRT_i:
Com x=h_{max}/h_i, a equação fica 3(m+M)\left(1-x^{-2/3}\right)=2m\,(x-1).
Resposta: \dfrac32 (m+M)\,h_i\left[1-\left(\dfrac{h_i}{h_{max}}\right)^{2/3}\right]=m\,(h_{max}-h_i)
Assuntos: Primeira lei da termodinâmica, Gases ideais e transformações gasosas.
Resultado conferido com as resoluções dos cursinhos Farias Brito e Poliedro.
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Fonte: ITA 2ª fase 2027 · Física. Prova oficial ↗