Questão 3 (Física) da 2ª fase do ITA 2027

Question

Um objeto de massa m encontra-se inicialmente em repouso (em x = 0), na extremidade de um carrossel de raio R e altura z = h com relação ao solo. O coeficiente de atrito estático entre a massa e o carrossel é \mu_e, e o coeficiente de atrito cinético entre a massa e o solo é \mu_c. O carrossel começa a girar com uma aceleração angular constante \alpha em um instante t = 0. Determine

Sistema de coordenadas tridimensional xyz mostrando um carrossel em forma de disco de raio R a uma altura h do plano xy, girando em torno do eixo z com aceleração angular α. A aceleração da gravidade aponta para baixo. Uma massa m está localizada na borda do carrossel alinhada com o eixo y.

a) a distância entre ponto de contato da massa m com o solo e a origem do sistema de coordenadas;

b) o instante no qual a massa para, considerando que ela não quica ao chegar ao solo, mas realiza um deslizamento.

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 3 (Física) da 2ª fase do ITA 2027

Física · Física: Atrito e resistência do ar

Texto-base das questões 01 a 10 · Física

Quando necessário, use a seguinte informação:

Para \theta \ll 1 assuma \sen\theta \approx \theta.

Um objeto de massa m encontra-se inicialmente em repouso (em x = 0), na extremidade de um carrossel de raio R e altura z = h com relação ao solo. O coeficiente de atrito estático entre a massa e o carrossel é \mu_e, e o coeficiente de atrito cinético entre a massa e o solo é \mu_c. O carrossel começa a girar com uma aceleração angular constante \alpha em um instante t = 0. Determine

Sistema de coordenadas tridimensional xyz mostrando um carrossel em forma de disco de raio R a uma altura h do plano xy, girando em torno do eixo z com aceleração angular α. A aceleração da gravidade aponta para baixo. Uma massa m está localizada na borda do carrossel alinhada com o eixo y.

a) a distância entre ponto de contato da massa m com o solo e a origem do sistema de coordenadas;

b) o instante no qual a massa para, considerando que ela não quica ao chegar ao solo, mas realiza um deslizamento.

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Resolução comentada

a) Enquanto a massa está presa ao carrossel, o atrito estático fornece duas componentes de aceleração. A tangencial é a_t=\alpha R. A centrípeta é a_c=\omega^2R=\alpha^2t^2R, pois \omega=\alpha t. As duas são perpendiculares, e a massa desliza quando a resultante atinge o valor máximo do atrito, \mu_e g:

\alpha^2R^2+\alpha^4t^4R^2=\mu_e^2g^2\ \Rightarrow\ a_c=\sqrt{\mu_e^2g^2-\alpha^2R^2}\equiv K

Com isso, o instante em que a massa se solta e a velocidade de saída são:

t_1=\frac{K^{1/2}}{\alpha R^{1/2}}\qquad v=\omega R=\alpha R\,t_1=\sqrt{RK}

A partir daí a massa é lançada horizontalmente, com v tangente à borda, de uma altura h. O tempo de queda é t_q=\sqrt{2h/g}, e o alcance horizontal é d=v\,t_q.

A velocidade é tangente à circunferência e, portanto, perpendicular ao raio. A posição de saída está a uma distância R do eixo z, e o ponto de contato com o solo fica a:

D=\sqrt{R^2+d^2}=\sqrt{R^2+\frac{2h}{g}RK}

A origem está sobre o eixo z, no solo. Logo:

D=\sqrt{R^2+\frac{2hR}{g}\sqrt{\mu_e^2g^2-\alpha^2R^2}}

b) O tempo total soma três etapas:

permanência no carrossel, t_1;
queda livre, t_q=\sqrt{2h/g};
deslizamento no solo, com a velocidade horizontal v conservada no toque (a massa não quica).

No solo a única força horizontal é o atrito cinético, que dá desaceleração \mu_c g. A massa para após t_d=\dfrac{v}{\mu_c g}.

Somando as três etapas:

T=\frac{K^{1/2}}{\alpha R^{1/2}}+\sqrt{\frac{2h}{g}}+\frac{\sqrt{RK}}{\mu_c g},\qquad K=\sqrt{\mu_e^2g^2-\alpha^2R^2}

Vale supondo \mu_e g>\alpha R, condição para a massa não escorregar já em t=0.

Assuntos: Atrito e resistência do ar, Lançamento horizontal e oblíquo.

Resultado conferido com as resoluções dos cursinhos Farias Brito e Poliedro.

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Questão 3 no caderno Física da 2ª fase do ITA 2027

Fonte: ITA 2ª fase 2027 · Física. Prova oficial ↗