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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 2 (Física) da 2ª fase do ITA 2027

Física · Física: Colisões

Texto-base das questões 01 a 10 · Física

Quando necessário, use a seguinte informação:

Para \theta \ll 1 assuma \sen\theta \approx \theta.

Considere um lançamento oblíquo de uma massa m, partindo da origem do plano xy, em que a velocidade inicial V faz um ângulo de 30^\circ com a horizontal perfeitamente lisa. Sabendo que o coeficiente de restituição entre a massa m e o solo é 0{,}7, determine

a) a altura máxima após n choques;

b) o intervalo de tempo para que a massa m atinja o mínimo da sua energia.

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Resolução comentada

a) Como o solo é perfeitamente liso, não há atrito: a componente horizontal V_x = V\cos 30^\circ não muda em nenhum choque. Só a componente vertical é afetada, e o coeficiente de restituição diz que ela é multiplicada por e a cada choque (a velocidade vertical de afastamento é e vezes a de aproximação).

A componente vertical inicial é V_{y0}=V\sen 30^\circ = V/2. Depois de n choques:

V_{y,n}=e^n\,\frac{V}{2}

A altura máxima é atingida quando a velocidade vertical se anula. Por Torricelli, vale H_n=\dfrac{V_{y,n}^2}{2g}:

H_n=\frac{e^{2n}V^2}{8g}=\frac{(0{,}49)^n\,V^2}{8g}

Para n=0 temos V^2/(8g), a altura máxima do lançamento original, como esperado.

H_n = \dfrac{(0{,}7)^{2n}V^2}{8g}=\dfrac{(0{,}49)^nV^2}{8g}

b) A energia mecânica é a soma da parte horizontal, constante e igual a \frac12 m V_x^2=\frac{3}{8}mV^2, com a parte vertical (cinética e potencial). A energia mínima ocorre quando o movimento vertical cessa, ou seja, quando a massa passa a deslizar sobre o solo, com E_{\min}=\frac38 mV^2.

Isso acontece depois de infinitos choques, mas o tempo total é finito. O tempo de voo entre choques é 2V_y/g:

  • Voo inicial: t_0=\dfrac{2(V/2)}{g}=\dfrac{V}{g}.
  • Voo após o n-ésimo choque: t_n=e^n\dfrac{V}{g}.

O tempo total é a soma de uma PG infinita de razão e=0{,}7:

T=\frac{V}{g}\sum_{n=0}^{\infty}e^n=\frac{V}{g}\cdot\frac{1}{1-e}=\frac{V}{0{,}3\,g}=\frac{10V}{3g}

T=\dfrac{10V}{3g}\approx 3{,}3\,\dfrac{V}{g} (energia mínima \frac38 mV^2)

Assuntos: Colisões, Lançamento horizontal e oblíquo.

Resultado conferido com as resoluções dos cursinhos Farias Brito e Poliedro.

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Fonte: ITA 2ª fase 2027 · Física. Prova oficial ↗