Questão 1 (Física) da 2ª fase do ITA 2027

Question

Em um laboratório de engenharia de materiais, um aparato similar a um pêndulo invertido é utilizado para ensaiar a rigidez torcional de corpos de prova poliméricos cilíndricos. O sistema consiste em uma haste rígida e homogênea de massa M e comprimento L, firmemente acoplada em sua extremidade inferior ao centro do corpo de prova polimérico, o qual permanece fixo em seus mancais e atua como uma mola torcional. Quando a haste sofre uma deflexão angular \theta em relação à vertical, o material polimérico torce e exerce um torque restaurador de natureza elástica \tau_e = -k\theta, em que k é a constante de rigidez torcional efetiva do corpo de prova. Durante o ensaio contínuo, a haste é inicialmente posicionada na vertical (\theta = 0), e uma câmara térmica no entorno do polímero eleva lentamente sua temperatura. Sabe-se que, ao se aproximar da transição vítrea, a rigidez k do polímero diminui gradativamente. Sabendo que a aceleração da gravidade local é g, responda aos itens a seguir.

Esquema do aparato: uma haste rígida de comprimento L inclinada de um ângulo θ em relação a uma linha vertical tracejada. No ponto médio da haste atua a força peso Mg apontando verticalmente para baixo. A base da haste está acoplada a um bloco rotulado "Polímero", sustentado por uma base retangular identificada como "Suporte/Mancal".

a) Determine a rigidez torcional crítica k_c do polímero em função de M, g e L, sabendo que a posição \theta = 0 deixa de ser um ponto de equilíbrio estável para k < k_c.

b) Identifique a quantidade e natureza dos pontos de equilíbrio do sistema (estável e/ou instável) de acordo com os possíveis valores de k/k_c > 0 no intervalo -\pi/2 < \theta < \pi/2.

c) Tomando o mancal inferior como referência zero de altura para a energia gravitacional, esboce os possíveis gráficos representativos da energia potencial total do sistema (U_{\text{total}}) em função do ângulo \theta, no intervalo -\pi/2 < \theta < \pi/2, de acordo com as situações identificadas no item b.

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 1 (Física) da 2ª fase do ITA 2027

Física · Física: Movimento harmônico simples e pêndulos

Texto-base das questões 01 a 10 · Física

Quando necessário, use a seguinte informação:

Para \theta \ll 1 assuma \sen\theta \approx \theta.

Em um laboratório de engenharia de materiais, um aparato similar a um pêndulo invertido é utilizado para ensaiar a rigidez torcional de corpos de prova poliméricos cilíndricos. O sistema consiste em uma haste rígida e homogênea de massa M e comprimento L, firmemente acoplada em sua extremidade inferior ao centro do corpo de prova polimérico, o qual permanece fixo em seus mancais e atua como uma mola torcional. Quando a haste sofre uma deflexão angular \theta em relação à vertical, o material polimérico torce e exerce um torque restaurador de natureza elástica \tau_e = -k\theta, em que k é a constante de rigidez torcional efetiva do corpo de prova. Durante o ensaio contínuo, a haste é inicialmente posicionada na vertical (\theta = 0), e uma câmara térmica no entorno do polímero eleva lentamente sua temperatura. Sabe-se que, ao se aproximar da transição vítrea, a rigidez k do polímero diminui gradativamente. Sabendo que a aceleração da gravidade local é g, responda aos itens a seguir.

Esquema do aparato: uma haste rígida de comprimento L inclinada de um ângulo θ em relação a uma linha vertical tracejada. No ponto médio da haste atua a força peso Mg apontando verticalmente para baixo. A base da haste está acoplada a um bloco rotulado "Polímero", sustentado por uma base retangular identificada como "Suporte/Mancal".

a) Determine a rigidez torcional crítica k_c do polímero em função de M, g e L, sabendo que a posição \theta = 0 deixa de ser um ponto de equilíbrio estável para k < k_c.

b) Identifique a quantidade e natureza dos pontos de equilíbrio do sistema (estável e/ou instável) de acordo com os possíveis valores de k/k_c > 0 no intervalo -\pi/2 < \theta < \pi/2.

c) Tomando o mancal inferior como referência zero de altura para a energia gravitacional, esboce os possíveis gráficos representativos da energia potencial total do sistema (U_{\text{total}}) em função do ângulo \theta, no intervalo -\pi/2 < \theta < \pi/2, de acordo com as situações identificadas no item b.

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Resolução comentada

a) Com o mancal como referência, o centro de massa da haste está a uma altura \frac{L}{2}\cos\theta. A energia potencial total é a gravitacional mais a elástica da mola torcional:

U(\theta)=\frac{MgL}{2}\cos\theta+\frac{1}{2}k\theta^2

Os equilíbrios são os pontos em que \dfrac{dU}{d\theta}=0, e são estáveis onde \dfrac{d^2U}{d\theta^2}>0:

\frac{dU}{d\theta}=k\theta-\frac{MgL}{2}\sen\theta,\qquad \frac{d^2U}{d\theta^2}=k-\frac{MgL}{2}\cos\theta

Em \theta=0, U''(0)=k-\dfrac{MgL}{2}. O ponto deixa de ser estável quando isso fica negativo, ou seja, para k<\dfrac{MgL}{2}. Fisicamente, o torque do peso, que tende a derrubar a haste, passa a vencer o torque da mola.

k_c=\dfrac{MgL}{2}

b) Pela condição de equilíbrio, k\theta=k_c\sen\theta. Além de \theta=0, que é sempre equilíbrio, as outras soluções satisfazem

\frac{\sen\theta}{\theta}=\frac{k}{k_c}

Em -\pi/2<\theta<\pi/2, a função \sen\theta/\theta é par e decresce de 1 (em \theta\to0) até 2/\pi (em \theta\to\pm\pi/2, extremos não incluídos). Daí saem três casos:

k/k_c\ge 1: só existe \theta=0, e ele é estável. Para k=k_c, U\approx k_c+k_c\theta^4/24 tem mínimo em \theta=0, logo continua estável.
2/\pi<k/k_c<1: existem três equilíbrios. \theta=0 é instável, pois k<k_c, e há dois equilíbrios estáveis simétricos, \pm\theta_0, com \sen\theta_0/\theta_0=k/k_c. Quanto menor k, maior \theta_0.
k/k_c\le 2/\pi: não há solução não nula dentro do intervalo. Resta apenas \theta=0, instável.

Resumo: um estável (k\ge k_c); um instável e dois estáveis (2/\pi<k/k_c<1); apenas um instável (k/k_c\le2/\pi).

c) Escrevendo U=k_c\left[\cos\theta+\dfrac{k}{k_c}\dfrac{\theta^2}{2}\right], o gráfico é sempre simétrico (função par), com U(0)=k_c=\dfrac{MgL}{2} no eixo vertical. Há três formas possíveis:

k/k_c\ge1: poço simples. O mínimo está em \theta=0, e a curva sobe nos dois lados, parecida com uma parábola (para k=k_c ela é mais achatada no fundo, quártica).
2/\pi<k/k_c<1: poço duplo. Há um máximo local em \theta=0, com valor k_c, e dois mínimos em \pm\theta_0 com U<k_c. Depois dos mínimos a curva volta a subir até U(\pm\pi/2)=k\pi^2/8.
k/k_c\le2/\pi: máximo em \theta=0 (valor k_c) e curva sempre decrescente para \theta>0, simétrica para \theta<0. Ela chega a U(\pm\pi/2)=k\pi^2/8\le k_c\pi/4<k_c nas bordas, sem mínimos no intervalo.

Esboços: (1) parábola com um mínimo em 0; (2) "W" suave com máximo local em 0 e mínimos em \pm\theta_0; (3) "montanha" com máximo em 0, decrescendo para os dois lados.

Assuntos: Movimento harmônico simples e pêndulos, Equilíbrio do corpo extenso: torque e alavancas.

Resultado conferido com as resoluções dos cursinhos Farias Brito e Poliedro.

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Questão 1 no caderno Física da 2ª fase do ITA 2027

Fonte: ITA 2ª fase 2027 · Física. Prova oficial ↗