PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS
Questão 8 (Física) da 2ª fase do ITA 2025
Texto-base das questões 01 a 10 · Física
Quando necessário, use os seguintes valores para as constantes:
Aceleração local da gravidade g = 10\ \text{m/s}^2.
Velocidade da luz no vácuo c = 3{,}0\times 10^8\ \text{m/s}.
Constante de gravitação universal G = 6{,}7 \times 10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2.
Massa da Terra M_{Terra} = 6{,}0 \times 10^{24}\ \text{kg}.
Raio da Terra R_{Terra} = 6{,}4 \times 10^6\ \text{m}.
Permissividade elétrica no vácuo \varepsilon_0 = 8{,}85 \times 10^{-12}\ \text{C}^2\cdot\text{N}^{-1}\cdot\text{m}^{-2}.
Energia de ionização do átomo de hidrogênio I_H = 13{,}6\ \text{eV}.
Massa do próton m_p = 1{,}6 \times 10^{-27}\ \text{kg} = 938\ \text{MeV}/c^2.
Carga elementar e = 1{,}6 \times 10^{-19}\ \text{C}.
N partículas (N > 2) de massa m e carga de módulo q descrevem movimentos circulares uniformes de raio R com a mesma velocidade angular. As partículas interagem gravitacional e eletricamente. Sabendo que todas as partículas descrevem a mesma trajetória e que apenas duas delas possuem cargas positivas, faça o que se pede nos itens a seguir.
a) Determine uma configuração para a qual a situação descrita seja fisicamente possível.
b) Calcule o módulo da força resultante em cada partícula na configuração determinada.
c) Calcule a velocidade angular de cada partícula na configuração determinada.
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Resolução comentada
a) Cada partícula precisa de uma resultante radial, apontando para o centro, com módulo m\omega^2R. Isso é possível com N=4: as partículas ficam nos vértices de um quadrado inscrito na circunferência, com cargas alternadas +q,-q,+q,-q. As duas positivas ficam em vértices opostos, e as duas negativas também.
Por simetria, a força de cada partícula sobre a que está no vértice oposto é radial. As duas partículas vizinhas ficam simétricas em relação ao diâmetro que passa pela partícula analisada, então a soma das forças delas também é radial. Assim a resultante aponta para o centro em todas as partículas, e a configuração é possível.
Configuração: quadrado inscrito com cargas +q,-q,+q,-q em sequência (positivas em vértices opostos).
b) Sejam k=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}, diagonal =2R e lado =R\sqrt2. Por simetria, a resultante tem o mesmo módulo nas quatro partículas.
Tome uma partícula positiva:
- Partícula oposta (positiva), a distância 2R: a força elétrica é repulsiva e a gravitacional é atrativa. Em direção ao centro: \dfrac{Gm^2-kq^2}{4R^2}.
- Cada vizinha (negativa), a distância R\sqrt2: a força é atrativa, com módulo \dfrac{kq^2+Gm^2}{2R^2}. A componente radial é essa força vezes \cos45^\circ=\dfrac{\sqrt2}{2}. As duas vizinhas somam \dfrac{\sqrt2\,(kq^2+Gm^2)}{2R^2}.
A resultante, voltada para o centro, é a soma dos dois termos:
Para uma partícula negativa a conta é a mesma: a oposta é negativa, com repulsão elétrica e atração gravitacional, e as vizinhas são positivas e atraem. O resultado é idêntico.
F=\dfrac{1}{4R^2}\left[(1+2\sqrt2)Gm^2+(2\sqrt2-1)\dfrac{q^2}{4\pi\varepsilon_0}\right]
c) A resultante centrípeta vale F=m\omega^2R, então \omega^2=\dfrac{F}{mR}:
\omega=\dfrac{1}{2}\sqrt{\dfrac{(1+2\sqrt2)Gm^2+(2\sqrt2-1)\,q^2/(4\pi\varepsilon_0)}{mR^3}}, igual para as quatro partículas.
Assuntos: Dinâmica do movimento circular (resultante centrípeta), Gravitação universal e satélites, Força elétrica e lei de Coulomb.
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Fonte: ITA 2ª fase 2025 · Física. Prova oficial ↗