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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 10 (Física) da 2ª fase do ITA 2023

Física · Física: Física quântica: fóton e efeito fotoelétrico

Texto-base das questões 01 a 10 · Física

Quando necessário, use os seguintes valores para as constantes:
Aceleração local da gravidade g = 10\text{ m/s}^2; velocidade da luz no vácuo c = 3{,}0 \times 10^8\text{ m/s};
Velocidade do som v_{som} = 340\text{ m/s}; carga elementar e = 1{,}6 \times 10^{-19}\text{ C};
Constante de Planck h vezes a velocidade da luz c, hc = 1240\text{ eV.nm};
Massa do elétron m_e = 9{,}11 \times 10^{-31}\text{ kg}.

Aproximações numéricas: (1 + \alpha)^n \approx 1 + n\alpha, para |\alpha| \ll 1; \sqrt{3} \approx 1{,}7.

Feixes de luz de comprimentos de onda 590\text{ nm}, 450\text{ nm} e 380\text{ nm} incidem sobre uma superfície metálica. Com um aparato experimental, são medidas as velocidades dos fotoelétrons ejetados. Sabendo que a maior velocidade detectada foi de 640\text{ km/s}, faça o que se pede:

a) determine a função trabalho do material;

b) determine a frequência de corte;

c) justifique se é possível que um elétron livre absorva um fóton, tal como ocorre no efeito fotoelétrico em um material. Um elétron livre é um elétron sem interações com outros corpos, além do referido fóton.

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Resolução comentada

a) A maior velocidade vem do fóton de maior energia, ou seja, do menor comprimento de onda (380\ \text{nm}). Pela equação de Einstein, E_{fóton}=\phi+E_{c,máx}.

  1. Energia do fóton: E=\dfrac{hc}{\lambda}=\dfrac{1240}{380}\approx 3{,}26\ \text{eV}.
  2. Energia cinética máxima: E_c=\tfrac12 m_e v^2=\tfrac12(9{,}11\times10^{-31})(6{,}4\times10^{5})^2\approx1{,}87\times10^{-19}\ \text{J}. Dividindo por 1{,}6\times10^{-19}, fica E_c\approx1{,}17\ \text{eV}.
  3. Função trabalho: \phi=3{,}26-1{,}17\approx 2{,}1\ \text{eV}.

\phi\approx 2{,}1\ \text{eV}\ (\approx3{,}4\times10^{-19}\ \text{J})

b) Na frequência de corte, a energia do fóton é igual à função trabalho, então hf_0=\phi. Em comprimento de onda:

\lambda_0=\frac{hc}{\phi}=\frac{1240}{2{,}1}\approx 591\ \text{nm}
f_0=\frac{c}{\lambda_0}=\frac{3{,}0\times10^{8}}{5{,}91\times10^{-7}}\approx 5{,}1\times10^{14}\ \text{Hz}

O feixe de 590\ \text{nm} fica praticamente no limiar do efeito.

f_0\approx 5{,}1\times10^{14}\ \text{Hz}

c) Não é possível. Para um elétron livre absorver o fóton, é preciso conservar energia e momento ao mesmo tempo.

No referencial em que o elétron está inicialmente em repouso, o fóton tem energia E e momento E/c. Depois da absorção, o elétron teria momento p=E/c, isto é, pc=E. A conservação da energia, de forma relativística, exige:

E+m_ec^2=\sqrt{(pc)^2+(m_ec^2)^2}=\sqrt{E^2+(m_ec^2)^2}

Elevando ao quadrado: E^2+2Em_ec^2+(m_ec^2)^2=E^2+(m_ec^2)^2, o que dá 2Em_ec^2=0, ou seja, E=0. Isso é absurdo para um fóton real.

No metal, o fóton é absorvido porque o elétron está ligado à rede cristalina. A rede, muito mais massiva, recebe o excesso de momento praticamente sem ganhar energia, e assim as duas conservações são satisfeitas.

Não: um elétron livre não pode absorver um fóton, pois energia e momento não seriam conservados simultaneamente.

Assunto: Física quântica: fóton e efeito fotoelétrico.

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Fonte: ITA 2ª fase 2023 · Física. Prova oficial ↗