Questão 10 (Física) da 2ª fase do ITA 2020

Question

Raios cósmicos interagem com átomos da atmosfera e produzem partículas instáveis X. Por meio de experimentos, constata-se que X decai em uma partícula Y e em um neutrino \nu, conforme a equação de decaimento X \to Y + \nu. Considerando desprezível a massa de repouso do neutrino e X inicialmente em repouso, determine a velocidade da partícula Y em termos de c e das massas de X e de Y.

Answer 1

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Questão 10 (Física) da 2ª fase do ITA 2020

Física · Física: Relatividade restrita

Texto-base das questões 01 a 10 · Física

Considere dadas as seguintes constantes físicas e, quando necessário, use estes seus valores bem como a conversão de unidades apresentada:

Aceleração local da gravidade: g = 10\text{ m/s}^2.
Constante de Boltzmann: k_B = 1{,}4 \times 10^{-23}\text{ J/K}.
Constante universal dos gases: R = 8\,\frac{\text{J}}{\text{mol}\cdot\text{K}}.
Densidade da água: 1{,}0\text{ g/cm}^3.
Velocidade da luz no vácuo: c = 3{,}0 \times 10^8\text{ m/s}.
1{,}0\text{ cal} = 4{,}2\text{ J}.

Raios cósmicos interagem com átomos da atmosfera e produzem partículas instáveis X. Por meio de experimentos, constata-se que X decai em uma partícula Y e em um neutrino \nu, conforme a equação de decaimento X \to Y + \nu. Considerando desprezível a massa de repouso do neutrino e X inicialmente em repouso, determine a velocidade da partícula Y em termos de c e das massas de X e de Y.

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Resolução comentada

a) Aqui valem a conservação da energia e a conservação do momento linear relativísticos. Sejam M a massa de X e m a massa de Y. O neutrino tem massa de repouso desprezível, então sua energia é E_\nu = p\,c.

Momento linear. X parte do repouso, logo o momento total inicial é nulo. Os momentos de Y e do neutrino têm o mesmo módulo p e sentidos opostos, com

p = \gamma m v,\qquad \gamma=\frac{1}{\sqrt{1-v^2/c^2}}.

Energia. A energia inicial de X é a de repouso, Mc^2. Depois do decaimento, ela é a soma das energias de Y e do neutrino:

Mc^2=\gamma m c^2+\gamma m v\,c \;\Rightarrow\; M=\gamma m\,(1+\beta),\quad \beta=\frac{v}{c}.

Como \gamma(1+\beta)=\dfrac{1+\beta}{\sqrt{(1-\beta)(1+\beta)}}=\sqrt{\dfrac{1+\beta}{1-\beta}}, temos

\frac{M}{m}=\sqrt{\frac{1+\beta}{1-\beta}}\;\Rightarrow\;\frac{M^2}{m^2}=\frac{1+\beta}{1-\beta}.

Isolando \beta:

M^2(1-\beta)=m^2(1+\beta)\;\Rightarrow\;\beta=\frac{M^2-m^2}{M^2+m^2}.

Se M>m, como deve ser para o decaimento ocorrer, então 0<\beta<1.

Resposta: v=c\,\dfrac{M^2-m^2}{M^2+m^2}

Assunto: Relatividade restrita.

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Questão 10 no caderno Física da 2ª fase do ITA 2020

Fonte: ITA 2ª fase 2020 · Física. Prova oficial ↗