Questão 8 (Matemática) da 2ª fase do ITA 2019

Question

Um cone circular reto, de altura h, e um cilindro circular reto têm bases de mesmo raio. O volume do cone é metade do volume do cilindro, e a área lateral do cone é igual à área lateral do cilindro. Determine, em função de h, o raio da esfera inscrita no cone.

Answer 1

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Questão 8 (Matemática) da 2ª fase do ITA 2019

Matemática · Matemática: Cone e tronco de cone

Texto-base das questões 01 a 10 · Matemática

Notações

\mathbb{R} : conjunto dos números reais

i : unidade imaginária i^2 = -1

[a, b] = \{x \in \mathbb{R} : a \le x \le b\}

Observação: Os sistemas de coordenadas considerados são os cartesianos retangulares.

Um cone circular reto, de altura h, e um cilindro circular reto têm bases de mesmo raio. O volume do cone é metade do volume do cilindro, e a área lateral do cone é igual à área lateral do cilindro. Determine, em função de h, o raio da esfera inscrita no cone.

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Resolução comentada

a) Sejam r o raio comum das bases, g a geratriz do cone e H a altura do cilindro.

Volumes. O volume do cone é metade do volume do cilindro:

\frac13\pi r^2 h=\frac12\pi r^2H \Rightarrow H=\frac{2h}{3}.

Áreas laterais. A área lateral do cone é igual à do cilindro:

\pi r g = 2\pi r H \Rightarrow g=2H=\frac{4h}{3}.

Raio da base. Na seção meridiana do cone, g^2=r^2+h^2, então

r^2=\frac{16h^2}{9}-h^2=\frac{7h^2}{9}\Rightarrow r=\frac{h\sqrt7}{3}.

Esfera inscrita. A seção meridiana do cone é um triângulo isósceles de base 2r, altura h e lados g. A esfera inscrita no cone tem como seção máxima o círculo inscrito nesse triângulo, cujo raio é \rho=\dfrac{\text{área}}{\text{semiperímetro}}.

Área: \dfrac{2r\cdot h}{2}=rh=\dfrac{h^2\sqrt7}{3}.
Semiperímetro: r+g=\dfrac{h\sqrt7}{3}+\dfrac{4h}{3}=\dfrac{h(\sqrt7+4)}{3}.

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\rho=\frac{h\sqrt7}{\sqrt7+4}=\frac{h\sqrt7(4-\sqrt7)}{16-7}=\frac{h(4\sqrt7-7)}{9}.

Conferindo: \rho\approx 0{,}40\,h, valor coerente para um cone com r\approx 0{,}88\,h.

Raio da esfera: \dfrac{(4\sqrt7-7)\,h}{9}

Assuntos: Cone e tronco de cone, Esfera.

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Questão 8 no caderno Matemática da 2ª fase do ITA 2019

Fonte: ITA 2ª fase 2019 · Matemática. Prova oficial ↗