Questão 8 (Física) da 2ª fase do ITA 2019

Question

Sejam T, P, V e \rho, respectivamente, a temperatura, a pressão, o volume e a densidade de massa de um meio gasoso no qual há propagação de ondas sonoras.

(a) Supondo uma expressão empírica para a velocidade da onda sonora em um gás, v_{\text{s}} = K T^a P^b V^c \rho^d, em que K é um número real, determine os expoentes a, b, c e d.

(b) Considere uma onda sonora que se propaga em um sistema composto por dois ambientes contendo, respectivamente, os gases neônio, mantido à temperatura T_1, e nitrogênio, à temperatura T_2 = 5T_1/3. Os ambientes estão separados entre si por uma membrana fina, impermeável e termoisolante, que permite a transmissão do som de um para outro ambiente. Considerando a constante do item anterior dada por K = \sqrt{\gamma}, em que \gamma é o coeficiente de Poisson do meio gasoso no qual o som se propaga, determine a razão numérica entre as respectivas velocidades de propagação do som nos gases.

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 8 (Física) da 2ª fase do ITA 2019

Física · Física: Ondas sonoras e acústica

Texto-base das questões 01 a 10 · Física

Quando precisar use os seguintes valores para as constantes:

Aceleração da gravidade g = 10\ \text{m/s}^2, permeabilidade magnética do vácuo \mu_0 = 4\pi \times 10^{-7}\ \text{N/A}^2, massa molar do neônio M_{Ne} = 20\ \text{g/mol} e massa molar do nitrogênio gasoso M_{N_2} = 28\ \text{g/mol}.

Sejam T, P, V e \rho, respectivamente, a temperatura, a pressão, o volume e a densidade de massa de um meio gasoso no qual há propagação de ondas sonoras.

(a) Supondo uma expressão empírica para a velocidade da onda sonora em um gás, v_{\text{s}} = K T^a P^b V^c \rho^d, em que K é um número real, determine os expoentes a, b, c e d.

(b) Considere uma onda sonora que se propaga em um sistema composto por dois ambientes contendo, respectivamente, os gases neônio, mantido à temperatura T_1, e nitrogênio, à temperatura T_2 = 5T_1/3. Os ambientes estão separados entre si por uma membrana fina, impermeável e termoisolante, que permite a transmissão do som de um para outro ambiente. Considerando a constante do item anterior dada por K = \sqrt{\gamma}, em que \gamma é o coeficiente de Poisson do meio gasoso no qual o som se propaga, determine a razão numérica entre as respectivas velocidades de propagação do som nos gases.

Reportar erro na questão

Resolução comentada

a) Escrevemos as dimensões de cada grandeza, tratando a temperatura \Theta como dimensão independente:

[v_s]=L\,T^{-1} (aqui T do tempo)
[T]=\Theta
[P]=M\,L^{-1}\,T^{-2}
[V]=L^3
[\rho]=M\,L^{-3}

Como K é adimensional, igualamos os expoentes de cada dimensão:

\Theta: a=0.
M: b+d=0.
Tempo: -2b=-1\Rightarrow b=\tfrac12, logo d=-\tfrac12.
L: -b+3c-3d=1\Rightarrow -\tfrac12+3c+\tfrac32=1\Rightarrow c=0.

Assim, v_s=K\sqrt{P/\rho}.

a=0,\ b=\tfrac12,\ c=0,\ d=-\tfrac12

b) Com K=\sqrt{\gamma}, temos v_s=\sqrt{\gamma P/\rho}. Para um gás ideal, P/\rho = RT/M, onde M é a massa molar. Então:

v_s=\sqrt{\frac{\gamma R T}{M}}

O neônio é monoatômico, com \gamma_{Ne}=5/3. O nitrogênio é diatômico, com \gamma_{N_2}=7/5.

A razão entre as velocidades, com T_2=5T_1/3, é:

\frac{v_{Ne}}{v_{N_2}}=\sqrt{\frac{\gamma_{Ne}\,T_1/M_{Ne}}{\gamma_{N_2}\,T_2/M_{N_2}}}=\sqrt{\frac{(5/3)\,T_1/20}{(7/5)(5T_1/3)/28}}

Calculando cada termo:

Numerador: \dfrac{5/3}{20}\,T_1=\dfrac{T_1}{12}.
Denominador: \dfrac{(7/3)}{28}\,T_1=\dfrac{T_1}{12}.

Portanto a razão é \sqrt{1}=1: o som se propaga com a mesma velocidade nos dois gases.

v_{Ne}/v_{N_2}=1

Assuntos: Ondas sonoras e acústica, Unidades do SI e análise dimensional.

Reportar erro na resolução

Ver como caiu na prova

Questão 8 no caderno Física da 2ª fase do ITA 2019

Fonte: ITA 2ª fase 2019 · Física. Prova oficial ↗