Questão 9 (Física) da 2ª fase do ITA 2019

Question

Uma placa quadrada de vértices A, B, C, D e lado l, medido em seu referencial de repouso, move-se em linha reta com velocidade de módulo v, próximo ao da velocidade da luz no vácuo c, em relação a um observador localizado a uma distância muito maior que l, conforme ilustra a figura. A imagem percebida pelo observador é formada a partir dos raios de luz que lhe chegam simultaneamente. Sabe-se que o movimento da placa faz com que o observador a perceba girada. Determine em função de v e c o ângulo de giro aparente da placa e indique o seu sentido, sabendo que esta e o observador se situam num mesmo plano.

$Esquema ilustrando a situação: à esquerda, o observador é representado por um olho estilizado com a legenda "Observador"; à direita, no mesmo plano, encontra-se uma placa quadrada cinza de vértices A (canto inferior esquerdo), B (canto superior esquerdo), C (canto superior direito) e D (canto inferior direito), com o comprimento do lado inferior AD indicado como l. A partir do centro da placa, aponta verticalmente para cima o vetor velocidade $\vec{v}$. Linhas pontilhadas partem do olho do observador até os vértices A e B.$

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 9 (Física) da 2ª fase do ITA 2019

Física · Física: Relatividade restrita

Texto-base das questões 01 a 10 · Física

Quando precisar use os seguintes valores para as constantes:

Aceleração da gravidade g = 10\ \text{m/s}^2, permeabilidade magnética do vácuo \mu_0 = 4\pi \times 10^{-7}\ \text{N/A}^2, massa molar do neônio M_{Ne} = 20\ \text{g/mol} e massa molar do nitrogênio gasoso M_{N_2} = 28\ \text{g/mol}.

Uma placa quadrada de vértices A, B, C, D e lado l, medido em seu referencial de repouso, move-se em linha reta com velocidade de módulo v, próximo ao da velocidade da luz no vácuo c, em relação a um observador localizado a uma distância muito maior que l, conforme ilustra a figura. A imagem percebida pelo observador é formada a partir dos raios de luz que lhe chegam simultaneamente. Sabe-se que o movimento da placa faz com que o observador a perceba girada. Determine em função de v e c o ângulo de giro aparente da placa e indique o seu sentido, sabendo que esta e o observador se situam num mesmo plano.

$Esquema ilustrando a situação: à esquerda, o observador é representado por um olho estilizado com a legenda "Observador"; à direita, no mesmo plano, encontra-se uma placa quadrada cinza de vértices A (canto inferior esquerdo), B (canto superior esquerdo), C (canto superior direito) e D (canto inferior direito), com o comprimento do lado inferior AD indicado como l. A partir do centro da placa, aponta verticalmente para cima o vetor velocidade $\vec{v}$. Linhas pontilhadas partem do olho do observador até os vértices A e B.$

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Resolução comentada

a)

Vamos usar o referencial do observador, que está muito longe. Seus raios de luz chegam praticamente horizontais, da direita para a esquerda. Por isso ele só distingue a posição vertical (y) dos pontos da placa.

Contração. A velocidade \vec v é vertical, paralela ao lado AB. Esse lado se contrai e fica com comprimento l/\gamma = l\sqrt{1-v^2/c^2}. O lado AD é perpendicular a \vec v e continua com comprimento l.

Atraso da luz. A imagem é formada por raios que chegam ao mesmo tempo. A luz emitida por D percorre uma distância horizontal l a mais que a emitida por A. Para chegarem juntas, a luz de D precisa ter saído um tempo \Delta t = l/c antes.

Nesse intervalo a placa subiu v\Delta t = \dfrac{v}{c}\,l. Logo, o observador vê D na posição que ele ocupava antes, isto é, deslocado para baixo de \dfrac{v}{c}\,l em relação ao nível de A.

Imagem vista. As alturas aparentes, tomando A como referência, são:

B está a l\sqrt{1-v^2/c^2} acima de A.
D está a \dfrac{v}{c}\,l abaixo de A.

Compare com uma placa de lado l girada de um ângulo \theta no sentido horário, vista de frente. As projeções verticais seriam:

AD: l\,\sen\theta, para baixo.
AB: l\cos\theta, para cima.

Igualando às alturas aparentes:

\sen\theta=\frac{v}{c}\qquad\text{e}\qquad \cos\theta=\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}

As duas condições são compatíveis, então a imagem é a de uma placa girada, sem deformação.

Sentido. O vértice D aparece abaixo de A, então o lado AD se inclina para baixo, para a direita. Isso é uma rotação no sentido horário, como na figura.

Resposta: \theta=\arcsen\!\left(\dfrac{v}{c}\right), no sentido horário (conforme a figura).

Assunto: Relatividade restrita.

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Questão 9 no caderno Física da 2ª fase do ITA 2019

Fonte: ITA 2ª fase 2019 · Física. Prova oficial ↗