Questão 6 (Física) da 2ª fase do ITA 2019

Question

Um condutor muito longo ABCDEF é interrompido num trecho, onde é ligado a guias metálicas pelas quais desliza sem atrito um condutor metálico rígido de comprimento l = 10\text{ cm} e massa m = 5{,}0\text{ mg}, mantendo o contato elétrico e a passagem de corrente pelo sistema contido no plano vertical, conforme esquematizado na figura. O potencial elétrico no terminal A é V_0=1{,}0\text{ V} e o sistema como um todo possui resistência R =0{,}10\ \Omega. Sendo a distância d = 18\text{ cm} e considerando apenas o efeito dos segmentos longos \overline{AB} e \overline{CD} sobre o condutor móvel, determine a distância de equilíbrio x indicada na figura.

Esquema do circuito no plano vertical com condutores, guias verticais paralelas, barra móvel de comprimento l a uma distância x do topo, e aterramento no ponto F

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 6 (Física) da 2ª fase do ITA 2019

Física · Física: Força magnética

Texto-base das questões 01 a 10 · Física

Quando precisar use os seguintes valores para as constantes:

Aceleração da gravidade g = 10\ \text{m/s}^2, permeabilidade magnética do vácuo \mu_0 = 4\pi \times 10^{-7}\ \text{N/A}^2, massa molar do neônio M_{Ne} = 20\ \text{g/mol} e massa molar do nitrogênio gasoso M_{N_2} = 28\ \text{g/mol}.

Um condutor muito longo ABCDEF é interrompido num trecho, onde é ligado a guias metálicas pelas quais desliza sem atrito um condutor metálico rígido de comprimento l = 10\text{ cm} e massa m = 5{,}0\text{ mg}, mantendo o contato elétrico e a passagem de corrente pelo sistema contido no plano vertical, conforme esquematizado na figura. O potencial elétrico no terminal A é V_0=1{,}0\text{ V} e o sistema como um todo possui resistência R =0{,}10\ \Omega. Sendo a distância d = 18\text{ cm} e considerando apenas o efeito dos segmentos longos \overline{AB} e \overline{CD} sobre o condutor móvel, determine a distância de equilíbrio x indicada na figura.

Esquema do circuito no plano vertical com condutores, guias verticais paralelas, barra móvel de comprimento l a uma distância x do topo, e aterramento no ponto F

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Resolução comentada

a)

O terminal A está a V_0 e F está aterrado. A corrente percorre A\to B\to C\to D\to E\to guia esquerda \to barra \to guia direita \to F. Seu valor é

I=\frac{V_0}{R}=\frac{1{,}0}{0{,}10}=10\ \text{A}

Sentido das correntes. Na barra a corrente vai da esquerda para a direita.

Em \overline{AB} ela também vai para a direita. As correntes são paralelas, então há atração e a força sobre a barra aponta para cima.
Em \overline{CD} ela vai para a esquerda. As correntes são antiparalelas, então há repulsão e a força sobre a barra também aponta para cima.

As duas forças magnéticas equilibram o peso. A barra está a uma distância x de AB e a d-x de CD. Para fios longos, a força sobre um trecho l é F=\dfrac{\mu_0 I^2 l}{2\pi r}. O equilíbrio fica:

\frac{\mu_0 I^2 l}{2\pi}\left(\frac1x+\frac1{d-x}\right)=mg

Com os valores numéricos:

\dfrac{\mu_0 I^2 l}{2\pi}=2\times10^{-7}\cdot 100\cdot 0{,}10=2\times10^{-6}\ \text{N}\cdot\text{m}
mg=5{,}0\times10^{-6}\cdot10=5{,}0\times10^{-5}\ \text{N}

Substituindo e usando \dfrac1x+\dfrac1{d-x}=\dfrac{d}{x(d-x)}:

\frac{d}{x(d-x)}=25\ \text{m}^{-1}\Rightarrow x(d-x)=\frac{0{,}18}{25}=7{,}2\times10^{-3}\ \text{m}^2

x^2-0{,}18\,x+0{,}0072=0\Rightarrow x=\frac{0{,}18\pm\sqrt{0{,}0324-0{,}0288}}{2}=\frac{0{,}18\pm0{,}06}{2}

As raízes são x=0{,}06\ \text{m} e x=0{,}12\ \text{m}. As duas posições são simétricas em relação ao ponto médio entre os fios.

A posição da figura, mais próxima de AB, é x=6\ \text{cm}. Esse equilíbrio é instável. A posição x=12\ \text{cm}, simétrica a ela, é o equilíbrio estável.

x = 6\ \text{cm} (posição da figura; a outra raiz, 12\ \text{cm}, é o equilíbrio estável).

Assuntos: Força magnética, Campo magnético: ímãs e correntes.

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Questão 6 no caderno Física da 2ª fase do ITA 2019

Fonte: ITA 2ª fase 2019 · Física. Prova oficial ↗