Questão 3 (Física) da 2ª fase do ITA 2019

Question

Uma estação espacial, Kepler, estuda um exoplaneta cujo satélite natural tem órbita elíptica de semieixo maior a_0 e período T_0, sendo d = 32a_0 a distância entre a estação e o exoplaneta. Um objeto que se desprende de Kepler é atraído gravitacionalmente pelo exoplaneta e inicia um movimento de queda livre a partir do repouso em relação a este. Desprezando a rotação do exoplaneta, a interação gravitacional entre o satélite e o objeto, bem como as dimensões de todos os corpos envolvidos, calcule em função de T_0 o tempo de queda do objeto.

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 3 (Física) da 2ª fase do ITA 2019

Física · Física: Gravitação universal e satélites

Texto-base das questões 01 a 10 · Física

Quando precisar use os seguintes valores para as constantes:

Aceleração da gravidade g = 10\ \text{m/s}^2, permeabilidade magnética do vácuo \mu_0 = 4\pi \times 10^{-7}\ \text{N/A}^2, massa molar do neônio M_{Ne} = 20\ \text{g/mol} e massa molar do nitrogênio gasoso M_{N_2} = 28\ \text{g/mol}.

Uma estação espacial, Kepler, estuda um exoplaneta cujo satélite natural tem órbita elíptica de semieixo maior a_0 e período T_0, sendo d = 32a_0 a distância entre a estação e o exoplaneta. Um objeto que se desprende de Kepler é atraído gravitacionalmente pelo exoplaneta e inicia um movimento de queda livre a partir do repouso em relação a este. Desprezando a rotação do exoplaneta, a interação gravitacional entre o satélite e o objeto, bem como as dimensões de todos os corpos envolvidos, calcule em função de T_0 o tempo de queda do objeto.

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Resolução comentada

a) Use a terceira lei de Kepler: para corpos que orbitam o mesmo planeta, T^2/a^3 é constante.

O objeto parte do repouso em relação ao exoplaneta, então sua velocidade inicial não tem componente tangencial. Ele cai em linha reta, que é uma elipse degenerada (excentricidade e\to1). Nessa elipse, o exoplaneta fica em um foco, que coincide com uma das extremidades do segmento. O ponto de partida fica na outra extremidade. O eixo maior é então o segmento de comprimento d, e o semieixo maior vale:

a=\frac{d}{2}=\frac{32a_0}{2}=16a_0

Comparando com o satélite natural, de semieixo a_0 e período T_0:

\frac{T^2}{(16a_0)^3}=\frac{T_0^2}{a_0^3}\;\Rightarrow\;T^2=16^3\,T_0^2=4096\,T_0^2\;\Rightarrow\;T=64\,T_0

Esse T é o período da "órbita" completa: ida até o exoplaneta e volta. A queda corresponde a meia órbita, indo da posição mais distante até o exoplaneta:

t=\frac{T}{2}=32\,T_0

Tempo de queda: t=32\,T_0

Assuntos: Gravitação universal e satélites, Leis de Kepler.

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Questão 3 no caderno Física da 2ª fase do ITA 2019

Fonte: ITA 2ª fase 2019 · Física. Prova oficial ↗