Questão 2 (Física) da 2ª fase do ITA 2019

Question

Na figura, um braço articulado de massa desprezível e de comprimento l tem sua extremidade fixada a uma corda homogênea de massa m, que o mantém sempre na horizontal. Nessa mesma extremidade é fixado um fio inextensível, também de massa desprezível, que sustenta um objeto de massa M. Esse dispositivo permite a medida de frequências sonoras pela observação da ressonância entre o som e a corda oscilando em seu modo fundamental.

Esquema do dispositivo com um braço horizontal articulado a uma parede vertical, de comprimento l, preso na extremidade livre por uma corda de massa m que forma um ângulo theta com o braço até a parede, e sustentando nessa extremidade uma massa M pendurada por um fio.

(a) Determine a frequência medida pelo dispositivo em função das massas m e M, do comprimento l, da aceleração da gravidade g e do ângulo \theta entre a corda e o braço.

(b) Considere esse dispositivo instalado na única boca de um túnel inacabado em cujo interior são geradas ondas sonoras. Determine o comprimento L do túnel, sabendo-se que dois modos consecutivos de vibração do ar são medidos, respectivamente, pela substituição de M pelas massas M_1 e M_2, com M_2 > M_1. A resposta deve ser explicitada em função de m, l, \theta, g, M_1, M_2 e da velocidade do som no ar v_{\text{s}}.

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 2 (Física) da 2ª fase do ITA 2019

Física · Física: Ondas estacionárias: cordas vibrantes e tubos sonoros

Texto-base das questões 01 a 10 · Física

Quando precisar use os seguintes valores para as constantes:

Aceleração da gravidade g = 10\ \text{m/s}^2, permeabilidade magnética do vácuo \mu_0 = 4\pi \times 10^{-7}\ \text{N/A}^2, massa molar do neônio M_{Ne} = 20\ \text{g/mol} e massa molar do nitrogênio gasoso M_{N_2} = 28\ \text{g/mol}.

Na figura, um braço articulado de massa desprezível e de comprimento l tem sua extremidade fixada a uma corda homogênea de massa m, que o mantém sempre na horizontal. Nessa mesma extremidade é fixado um fio inextensível, também de massa desprezível, que sustenta um objeto de massa M. Esse dispositivo permite a medida de frequências sonoras pela observação da ressonância entre o som e a corda oscilando em seu modo fundamental.

Esquema do dispositivo com um braço horizontal articulado a uma parede vertical, de comprimento l, preso na extremidade livre por uma corda de massa m que forma um ângulo theta com o braço até a parede, e sustentando nessa extremidade uma massa M pendurada por um fio.

(a) Determine a frequência medida pelo dispositivo em função das massas m e M, do comprimento l, da aceleração da gravidade g e do ângulo \theta entre a corda e o braço.

(b) Considere esse dispositivo instalado na única boca de um túnel inacabado em cujo interior são geradas ondas sonoras. Determine o comprimento L do túnel, sabendo-se que dois modos consecutivos de vibração do ar são medidos, respectivamente, pela substituição de M pelas massas M_1 e M_2, com M_2 > M_1. A resposta deve ser explicitada em função de m, l, \theta, g, M_1, M_2 e da velocidade do som no ar v_{\text{s}}.

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Resolução comentada

a) Na extremidade do braço atuam três forças: o peso do objeto, Mg, a tração T da corda, inclinada de \theta com a horizontal, e a força do braço. Como o braço é articulado e tem massa desprezível, a força dele só pode ser ao longo do braço, ou seja, horizontal. Assim, o equilíbrio vertical dá a tração, e o peso próprio da corda é desprezado nessa condição:

T\,\sen\theta = Mg \Rightarrow T=\frac{Mg}{\sen\theta}

O comprimento da corda é L_c=\dfrac{l}{\cos\theta}. Sua densidade linear é

\mu=\frac{m}{L_c}=\frac{m\cos\theta}{l}

A velocidade da onda na corda é

v=\sqrt{\frac{T}{\mu}}=\sqrt{\frac{Mg\,l}{m\,\sen\theta\cos\theta}}

No modo fundamental, a corda tem nós nas duas extremidades e \lambda=2L_c. Logo:

f=\frac{v}{2L_c}=\frac{\cos\theta}{2l}\sqrt{\frac{Mg\,l}{m\,\sen\theta\cos\theta}}=\frac12\sqrt{\frac{Mg}{m\,l\,\tg\theta}}

f=\dfrac12\sqrt{\dfrac{Mg}{m\,l\,\tg\theta}}

b) O túnel tem uma só boca aberta, então é um tubo fechado em uma extremidade. Seus modos têm frequências f_n=\dfrac{n\,v_s}{4L}, com n ímpar. Dois modos consecutivos correspondem a n e n+2, e a diferença entre suas frequências é

f_2-f_1=\frac{2v_s}{4L}=\frac{v_s}{2L}

Pelo item (a), as frequências medidas com M_1 e M_2 são f_i=\frac12\sqrt{\dfrac{g}{m\,l\,\tg\theta}}\sqrt{M_i}. Então:

f_2-f_1=\frac12\sqrt{\frac{g}{m\,l\,\tg\theta}}\left(\sqrt{M_2}-\sqrt{M_1}\right)=\frac{v_s}{2L}

Isolando L:

L=\frac{v_s}{\sqrt{\dfrac{g}{m\,l\,\tg\theta}}\left(\sqrt{M_2}-\sqrt{M_1}\right)}

L=\dfrac{v_s}{\sqrt{M_2}-\sqrt{M_1}}\sqrt{\dfrac{m\,l\,\tg\theta}{g}}

Assuntos: Ondas estacionárias: cordas vibrantes e tubos sonoros, Equilíbrio do corpo extenso: torque e alavancas.

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Questão 2 no caderno Física da 2ª fase do ITA 2019

Fonte: ITA 2ª fase 2019 · Física. Prova oficial ↗