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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 1 (Física) da 2ª fase do ITA 2019

Física · Física: Gravitação universal e satélites

Texto-base das questões 01 a 10 · Física

Quando precisar use os seguintes valores para as constantes:

Aceleração da gravidade g = 10\ \text{m/s}^2, permeabilidade magnética do vácuo \mu_0 = 4\pi \times 10^{-7}\ \text{N/A}^2, massa molar do neônio M_{Ne} = 20\ \text{g/mol} e massa molar do nitrogênio gasoso M_{N_2} = 28\ \text{g/mol}.

Conforme a figura, um veículo espacial, composto de um motor-foguete de massa m_1 e carga útil de massa m_2, é lançado verticalmente de um planeta esférico e homogêneo de massa M e raio R. Após esgotar o combustível, o veículo permanece em voo vertical até atingir o repouso a uma distância r do centro do planeta. Nesse instante um explosivo é acionado, separando a carga útil do motor-foguete e impulsionando-a verticalmente com velocidade mínima para escapar do campo gravitacional do planeta. Desprezando forças dissipativas, a variação de massa associada à queima do combustível do foguete e efeitos de rotação do planeta, e sendo G a constante de gravitação universal, determine

Esquema dividido em duas partes por uma linha vertical pontilhada. À esquerda, um planeta esférico de massa M e raio R tem acima de si, alinhado verticalmente com seu centro a uma distância r, um veículo espacial composto por uma base retangular de massa m1 (motor-foguete) acoplada a uma ponta triangular de massa m2 (carga útil). À direita, na mesma configuração a uma distância r do centro do planeta de massa M e raio R, as duas partes aparecem separadas: a carga útil m2 com uma seta apontando verticalmente para cima e o motor-foguete m1 com uma seta apontando verticalmente para baixo.

(a) o trabalho realizado pelo motor-foguete durante o 1o estágio do seu movimento de subida e

(b) a energia mecânica adquirida pelo sistema devido à explosão.

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Resolução comentada

a) Parta do repouso na superfície (o enunciado só define o repouso final) e vá até o repouso em r. Nos dois extremos a energia cinética é nula, então só muda a energia potencial gravitacional. Sem forças dissipativas, o trabalho do motor é igual à variação da energia mecânica do veículo, de massa m_1+m_2:

W = E_{final}-E_{inicial} = -\frac{GM(m_1+m_2)}{r}-\left(-\frac{GM(m_1+m_2)}{R}\right)
W = GM(m_1+m_2)\left(\frac{1}{R}-\frac{1}{r}\right)

O resultado é positivo, como esperado: o motor fornece energia para elevar o veículo.

W = GM(m_1+m_2)\left(\dfrac{1}{R}-\dfrac{1}{r}\right)

b) A energia ganha na explosão é a energia cinética dos dois fragmentos, já que o veículo estava em repouso e a posição não muda no instante da explosão.

A carga útil sai com a velocidade mínima de escape a uma distância r. Nesse caso, a energia mecânica dela é zero:

\frac{1}{2}m_2v_2^2-\frac{GMm_2}{r}=0 \Rightarrow v_2^2=\frac{2GM}{r}

A explosão é interna e o sistema parte do repouso, então a quantidade de movimento total se conserva e vale zero. O motor-foguete desce com velocidade v_1:

m_1v_1=m_2v_2 \Rightarrow v_1=\frac{m_2}{m_1}v_2

A energia adquirida é:

\Delta E=\frac{1}{2}m_2v_2^2+\frac{1}{2}m_1v_1^2=\frac{GMm_2}{r}+\frac{1}{2}\frac{m_2^2}{m_1}\frac{2GM}{r}
\Delta E=\frac{GMm_2}{r}\left(1+\frac{m_2}{m_1}\right)

\Delta E=\dfrac{GMm_2(m_1+m_2)}{m_1\,r}

Assuntos: Gravitação universal e satélites, Energia mecânica e sua conservação.

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Ver como caiu na prova Questão 1 no caderno Física da 2ª fase do ITA 2019

Fonte: ITA 2ª fase 2019 · Física. Prova oficial ↗