PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS
Questão 1 (Matemática) da 2ª fase do ITA 2019
Texto-base das questões 01 a 10 · Matemática
Notações
\mathbb{R} : conjunto dos números reais
i : unidade imaginária i^2 = -1
[a, b] = \{x \in \mathbb{R} : a \le x \le b\}
Observação: Os sistemas de coordenadas considerados são os cartesianos retangulares.
Determine os valores reais de a e b para os quais as equações x^3 + ax^2 + 18 = 0 e x^3 + bx + 12 = 0 possuam duas raízes em comum e, a seguir, determine essas raízes.
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Resolução comentada
a) Sejam p e q as raízes comuns. Então a primeira equação tem raízes p, q, r e a segunda tem raízes p, q, s. Usamos as relações de Girard em cada uma.
Primeira equação, x^3+ax^2+0x+18=0:
Segunda equação, x^3+0x^2+bx+12=0:
- Dividindo pqr=-18 por pqs=-12 (note que pq\neq 0), obtemos \dfrac{r}{s}=\dfrac{3}{2}. Logo s=2t e r=3t, para algum t.
- Da segunda equação, p+q=-s=-2t.
- Da primeira, pq+r(p+q)=0, ou seja, pq+3t(-2t)=0, o que dá pq=6t^2.
- Substituindo em pqs=-12: 6t^2\cdot 2t=-12, então t^3=-1.
As soluções de t^3=-1 são t=-1 e t=\frac{1\pm i\sqrt3}{2}. Mas a=-(p+q+r)=-(-2t+3t)=-t precisa ser real. Isso exclui as raízes complexas e deixa só t=-1.
Assim, a=1, s=-2, r=-3, p+q=2 e pq=6. Também b=pq+s(p+q)=6+(-2)(2)=2.
Verificação: x^3+x^2+18=(x+3)(x^2-2x+6) e x^3+2x+12=(x+2)(x^2-2x+6). As duas têm em comum o fator x^2-2x+6.
a = 1 e b = 2.
b) As raízes comuns são as raízes de x^2-2x+6=0:
As raízes comuns são 1+i\sqrt5 e 1-i\sqrt5.
Assunto: Equações polinomiais e relações de Girard.
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Fonte: ITA 2ª fase 2019 · Matemática. Prova oficial ↗