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Questão 7 do IME 2027

Prova objetiva · Matemática · Matemática: Equação do 2º grau

Sejam r_1 e r_2 as raízes da equação a_1x^2+b_1x+c_1 = 0, r_2 e r_3 as raízes da equação a_2x^2+b_2x+c_2 = 0 e r_3 e r_1 as raízes da equação a_3x^2 + b_3x + c_3 = 0 com r_1,r_2,r_3 \in \mathbb{R}^* e a_1 \cdot a_2 \cdot a_3 \neq 0.

Calcule:

\left[\prod_{i=1}^{3}\left(\frac{a_i - b_i + c_i}{a_i}\right)\right]^{1/2}

  1. A
    r_1 + r_2 + r_3
  2. B
    r_1r_2 + r_2r_3 + r_3r_1
  3. C
    (1 + r_1)(1 + r_2)(1 + r_3)
  4. D
    r_1r_2r_3
  5. E
    (1 - r_1)(1 - r_2)(1 - r_3)
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Resolução comentada

Cada fator \frac{a_i-b_i+c_i}{a_i} é o polinômio dividido por a_i, calculado em x=-1.

Se r e s são as raízes de a x^2+bx+c=0, então \frac{a x^2+bx+c}{a}=(x-r)(x-s). Calculando em x=-1:

\frac{a-b+c}{a}=(-1-r)(-1-s)=(1+r)(1+s).

Aplicando às três equações:

  1. Para r_1,r_2: (1+r_1)(1+r_2).
  2. Para r_2,r_3: (1+r_2)(1+r_3).
  3. Para r_3,r_1: (1+r_3)(1+r_1).

O produto dos três fatores é

(1+r_1)^2(1+r_2)^2(1+r_3)^2=\big[(1+r_1)(1+r_2)(1+r_3)\big]^2.

Tirando a raiz quadrada, obtemos \left|(1+r_1)(1+r_2)(1+r_3)\right|.

O enunciado pede a raiz principal, que é não negativa, então o resultado é o módulo. Entre as alternativas, a que representa esse valor (assumindo o produto não negativo, como a questão sugere) é (1+r_1)(1+r_2)(1+r_3).

Alternativa C.

Pegadinha: A alternativa E engana quem avalia o polinômio em x=1 em vez de x=-1, pois a expressão a-b+c corresponde a x=-1.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • ASoma das raízes não surge do cálculo; o valor de x usado é -1, não a relação de Girard da soma.
  • BSoma dos produtos dois a dois é apenas parte da expansão de (1+r1)(1+r2)(1+r3).
  • DProduto das raízes ignora o termo 1 de cada fator (1+r_i).
  • ETroca o sinal: usa x=1 em vez de x=-1, dando (1-r_i).

Assunto: Equação do 2º grau.

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Fonte: IME 2027 · Prova objetiva. Prova oficial ↗