PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 29 do IME 2027

Prova objetiva · Física

Representação esquemática de uma esfera indicando o Centro (C), um ponto P na superfície, a latitude (hi) e a longitude (ambda)

A latitude e a longitude são coordenadas geográficas que oferecem a posição de ponto qualquer na Terra. A latitude é referenciada em relação à Linha do Equador (0^\circ a 90^\circ, Norte ou Sul). Já a longitude é referenciada em relação ao Meridiano de Greenwich (0^\circ a 180^\circ, Leste ou Oeste).

Sobre a superfície da Terra, uma fibra ótica deve ligar dois pontos A e B.

Dados:
• coordenadas do ponto A: latitude 45^\circ Norte e longitude 0^\circ;
• coordenadas do ponto B: latitude 45^\circ Norte e longitude 90^\circ Leste;
• raio da Terra: R ;
• índice de refração da fibra ótica: n ;
• velocidade da luz no vácuo: c.

O menor tempo de viagem possível de um sinal ótico pela fibra, a ser posicionada sobre a superfície da Terra, entre os pontos A e B é:

  1. A
    \dfrac{\pi Rn}{6c}
  2. B
    \dfrac{\sqrt{3}\pi Rn}{4c}
  3. C
    \dfrac{\sqrt{2}\pi Rn}{4c}
  4. D
    \dfrac{\pi Rn}{3c}
  5. E
    \dfrac{\sqrt{3}\pi Rn}{2c}
Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.
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Resolução comentada

O menor caminho sobre a superfície de uma esfera entre dois pontos é o arco de círculo máximo que passa por eles. Não é o paralelo de 45^\circ N, que é um círculo menor.

Primeiro, escrevemos os vetores de posição com origem no centro da Terra, usando latitude \phi e longitude \lambda:

\vec{r}=R(\cos\phi\cos\lambda,\ \cos\phi\sen\lambda,\ \sen\phi)
  1. Ponto A (\phi=45^\circ, \lambda=0^\circ): \vec{A}=R\left(\frac{\sqrt2}{2},\,0,\,\frac{\sqrt2}{2}\right).
  2. Ponto B (\phi=45^\circ, \lambda=90^\circ): \vec{B}=R\left(0,\,\frac{\sqrt2}{2},\,\frac{\sqrt2}{2}\right).
  3. Produto escalar: \vec{A}\cdot\vec{B}=R^2\cdot\frac{1}{2}.
  4. Como \vec{A}\cdot\vec{B}=R^2\cos\theta, temos \cos\theta=\frac12, ou seja, \theta=60^\circ=\frac{\pi}{3}.
  5. Comprimento do arco: d=R\theta=\dfrac{\pi R}{3}.

Na fibra, a velocidade da luz é v=\dfrac{c}{n}. Logo:

t=\frac{d}{v}=\frac{\pi R}{3}\cdot\frac{n}{c}=\frac{\pi R n}{3c}

Alternativa D.

Pegadinha: A alternativa C engana quem percorre o paralelo de 45^\circ (arco de 90^\circ com raio R\cos45^\circ), em vez do círculo máximo.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • Ausa um ângulo central de 30^\circ, sem calcular o ângulo entre os vetores.
  • Bnão corresponde a nenhum arco válido; mistura fatores de \sqrt3 sem justificativa.
  • Cé o resultado do paralelo (arco de 90^\circ com raio R\cos45^\circ), que não é o caminho mais curto.
  • Enão corresponde a nenhum arco válido; fator \sqrt3 sem justificativa.

Assuntos: geometria esférica, velocidade da luz em meio material, índice de refração.

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Fonte: IME 2027 · Prova objetiva. Prova oficial ↗