PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 26 do IME 2027

Prova objetiva · Física

Esquema de uma corda em forma de catenária, simétrica em relação ao centro, com as extremidades à mesma altura e separadas horizontalmente por . A origem está marcada no centro da base horizontal. O ponto mais baixo da corda está à altura da base. Um ponto no ramo direito tem coordenadas e , indicadas por linhas tracejadas e cotas; a tangente à curva nesse ponto forma um ângulo com a horizontal.

Uma corda perfeitamente flexível e inextensível está com suas extremidades presas a dois pontos, separados pela distância 2L, no teto horizontal de uma sala. A curva feita pela corda é conhecida na estática como catenária, sendo dada por:

y(x) = (e^{x/b} + e^{-x/b}).b/2

onde b é uma constante que depende de dimensões do aparato montado.

Dados:

• -L \leq x \leq +L;
• \tan\theta(x) = (e^{x/b} - e^{-x/b})/2;
• densidade linear da corda: constante;
• comprimento total da corda: S;
• aceleração da gravidade: g.

Dica:

• obtenha equações de equilíbrio estático na corda como um todo e depois em metade da corda.

O valor local mínimo da velocidade de um pulso ondulatório transversal é:

  1. A
    \sqrt{\frac{1}{2}Sg(e^{L/b} - e^{-L/b})}
  2. B
    \sqrt{Sg(e^{L/b} - e^{-L/b})}
  3. C
    \frac{1}{2}\sqrt{Sg(e^{L/b} - e^{-L/b})^{-1}}
  4. D
    \sqrt{Sg(e^{L/b} - e^{-L/b})^{-1}}
  5. E
    \frac{1}{2}\sqrt{Sg(e^{L/b} - e^{-L/b})}
Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.
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Resolução comentada

A velocidade de um pulso transversal numa corda é v=\sqrt{T/\mu}, em que T é a tração local e \mu a densidade linear. Como \mu é constante, a velocidade é mínima onde a tração é mínima.\n\nEquilíbrio de metade da corda (de x=0 até x=L):\n\n1. Horizontal: a tração no ponto mais baixo, T_0 (horizontal), equilibra a componente horizontal da tração na extremidade, T\cos\theta. Logo T\cos\theta=T_0 em todo ponto, ou seja, a componente horizontal é constante e T=T_0/\cos\theta.\n2. Como \cos\theta\le 1, a tração é mínima em \theta=0, no ponto mais baixo, onde T=T_0.\n3. Vertical, na extremidade: a tração vertical sustenta metade do peso, T_0\tan\theta_L=\mu g S/2.\n4. Com \tan\theta_L=(e^{L/b}-e^{-L/b})/2:\n\n

T_0=\frac{\mu g S/2}{(e^{L/b}-e^{-L/b})/2}=\frac{\mu g S}{e^{L/b}-e^{-L/b}}
\n\n5. Velocidade mínima:\n\n
v_{min}=\sqrt{\frac{T_0}{\mu}}=\sqrt{\frac{Sg}{e^{L/b}-e^{-L/b}}}
\n\nIsso corresponde à expressão \sqrt{Sg(e^{L/b}-e^{-L/b})^{-1}}.\n\nAlternativa D.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • AColoca a exponencial no numerador e inclui um fator 1/2 indevido; a velocidade deveria diminuir com o aumento da tração horizontal inversa.
  • BDeixa a diferença de exponenciais no numerador, invertendo a relação entre T_0 e \tan\theta.
  • CTem o fator 1/2 fora da raiz, que não aparece em T_0/\mu (o 1/2 do peso cancela com o 1/2 da tangente).
  • EExponencial no numerador e fator 1/2 fora da raiz, ambos errados.

Assuntos: velocidade de onda em corda, estática da catenária.

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Fonte: IME 2027 · Prova objetiva. Prova oficial ↗