PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 25 do IME 2027

Prova objetiva · Física

Duas malhas resistivas, cada uma formada por um hexágono com um resistor R em cada um dos seis lados e um resistor R ligando cada vértice ao nó central. Na malha da esquerda, o hexágono tem lados superior e inferior horizontais, e uma fonte de tensão V está ligada entre os vértices inferior esquerdo e inferior direito. Na malha da direita, o hexágono tem vértices superior e inferior sobre um eixo vertical, e uma fonte de tensão V está ligada entre os vértices inferior esquerdo e inferior direito. As correntes I₁ e I₂ estão indicadas, respectivamente, nos fios inferiores das malhas esquerda e direita, com setas apontando para a esquerda.

Duas malhas resistivas são construídas conforme a figura.

Dica:

• R = R/2 + R/2.

A razão entre as correntes I_1 e I_2 é um número real pertencente ao intervalo:

  1. A
    (0\ ,\ 1/2)
  2. B
    (1/2\ ,\ 1)
  3. C
    (1\ ,\ 3/2)
  4. D
    (3/2\ ,\ 2)
  5. E
    (2\ ,\ 5/2)
Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.
Reportar erro na questão
O que está errado?
Sem cadastro: não guardamos quem enviou.
Resolução comentada

Cada malha é uma roda: seis vértices em hexágono, cada lado com R, e seis raios R ligando cada vértice ao centro O. Precisamos da resistência equivalente entre dois vértices adjacentes, nas duas figuras.

Na malha da esquerda, a fonte está ligada entre os vértices inferiores, que são adjacentes. Na da direita, está entre o vértice inferior esquerdo e o inferior direito. Esses dois vértices têm o vértice inferior entre eles, então estão a dois lados de distância, não são adjacentes.

Por simetria, calculamos as duas resistências.

Malha esquerda (vértices adjacentes A e B):

A simetria entre A e B (eixo vertical) faz o centro O ter potencial médio V/2. Os pontos do eixo de simetria ficam no mesmo potencial, então podemos separar o circuito em duas metades.

Usando a dica, dividimos o resistor AB em R/2+R/2, e o ponto médio M fica no mesmo potencial de O (V/2). Podemos ligar M a O sem alterar nada.

Metade de A (entre A e o potencial V/2): em paralelo, R/2 (meio do lado AB), o raio AO (R) e o caminho pelo restante do anel.

O restante do anel é a rede simétrica. Os vértices C e F (vizinhos de A e B) e D, E (opostos): por simetria, C e F têm potencial intermediário.

Fazendo pelo método de nós com A = V/2, B = -V/2, O = 0, os pontos do eixo vertical (E e D no extremo oposto) em 0.

Vértices: A, B (inferiores), C, F (laterais, vizinhos), D (topo esquerdo), E (topo direito). Por simetria, D e E = 0, e O = 0. Então C (potencial x) liga-se a A, D, O (todos conhecidos): (x-V/2)+(x-0)+(x-0)=0, logo x=V/6.

Corrente que sai de A: por AB: V/R; por AO: V/(2R); por AC: (V/2-V/6)/R=V/(3R). Total: V/R+V/(2R)+V/(3R)=11V/(6R). Então I_1=11V/(6R)\cdot (fonte com V total entre A e B, já usado \pm V/2).

Malha direita (A e B com vértice inferior G entre eles): com A = V/2, B = -V/2, G e O (no eixo de simetria) = 0 e o topo T = 0. Os vértices C (vizinho de A) e F (vizinho de B) = y e -y. Nó C: ligado a A, T e O. Então y=V/6 de novo. Nó G: liga A, B, O e é 0 por simetria. Corrente de A: AG: V/(2R); AO: V/(2R); AC: V/(3R). Total: 4V/(3R). Então I_2=4V/(3R).

Razão: I_1/I_2=\dfrac{11/6}{4/3}=\dfrac{11}{8}=1{,}375, que está em (1;3/2).

Alternativa C.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • ARazão menor que 1/2 não corresponde a nenhuma das resistências equivalentes obtidas.
  • BInverteria a razão, tomando I_2/I_1 em vez de I_1/I_2.
  • DSuperestima a razão; as correntes calculadas dão 11/8, abaixo de 3/2.
  • ESuperestima muito a razão, desconsiderando os caminhos pelo centro.

Assuntos: associação de resistores, simetria em circuitos.

Reportar erro na resolução
O que está errado?
Sem cadastro: não guardamos quem enviou.
Ver como caiu na prova Questão 25 no caderno Prova objetiva do IME 2027

Fonte: IME 2027 · Prova objetiva. Prova oficial ↗