PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 23 do IME 2027

Prova objetiva · Física

Esquema de duas máquinas térmicas acopladas em série. Uma fonte à temperatura fornece “calor cedido” à Máquina Térmica 1, que libera “trabalho produzido” por uma seta para cima e envia “calor rejeitado” a uma fonte à temperatura (desconhecida). Essa fonte fornece “calor cedido” à Máquina Térmica 2, que também libera “trabalho produzido” por uma seta para cima e envia “calor rejeitado” a uma fonte à temperatura .

Duas máquinas térmicas, ambas operando em ciclos de Carnot, são acopladas em série. A primeira máquina recebe calor de um reservatório térmico que se encontra a uma temperatura T_1, produz certa quantidade de trabalho e rejeita calor para um reservatório térmico intermediário de temperatura T_2 desconhecida. Por sua vez, este reservatório cede calor para a segunda máquina que também produz trabalho e cede energia para um terceiro reservatório térmico cuja temperatura é T_3.

O trabalho disponibilizado pela segunda máquina é 40\% daquele associado ao primeiro ciclo. Já o calor que alimenta a segunda máquina é igual a 80\% da energia rejeitada pelo primeiro ciclo para a fonte intermediária.

Dados:

• Temperatura T_1 : 900\text{K};
• Temperatura T_3 : 300\text{K}.

A partir do contexto acima, a soma numérica dos rendimentos das duas máquinas é igual a:

  1. A
    \frac{12}{45}
  2. B
    \frac{15}{45}
  3. C
    \frac{38}{45}
  4. D
    \frac{40}{45}
  5. E
    \frac{43}{45}
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Resolução comentada

Para um ciclo de Carnot, o rendimento é \eta = 1 - \dfrac{T_{\text{fria}}}{T_{\text{quente}}}, e também \eta = \dfrac{W}{Q_{\text{cedido}}}.

Chame de Q_1 o calor que a máquina 1 recebe. Então W_1=\eta_1 Q_1 e o calor rejeitado é Q_2=(1-\eta_1)Q_1.

A máquina 2 recebe 0{,}8\,Q_2 e produz W_2=0{,}4\,W_1.

  1. Rendimento da máquina 2: \eta_2=\dfrac{W_2}{0{,}8Q_2}=\dfrac{0{,}4\,\eta_1 Q_1}{0{,}8(1-\eta_1)Q_1}=\dfrac{\eta_1}{2(1-\eta_1)}.

  2. Com Carnot: 1-\eta_1=\dfrac{T_2}{900} e 1-\eta_2=\dfrac{300}{T_2}. Multiplicando, (1-\eta_1)(1-\eta_2)=\dfrac{300}{900}=\dfrac13.

  3. Seja x=1-\eta_1. Então \eta_1=1-x e \eta_2=\dfrac{1-x}{2x}, logo 1-\eta_2=\dfrac{2x-1+x}{2x}=\dfrac{3x-1}{2x}.

  4. Substituindo: x\cdot\dfrac{3x-1}{2x}=\dfrac{3x-1}{2}=\dfrac13, então 3x=\dfrac53 e x=\dfrac59.

  5. Assim \eta_1=\dfrac49 e \eta_2=\dfrac{4/9}{2\cdot 5/9}=\dfrac25.

Conferência: T_2=900\cdot\frac59=500\ \text{K} e 1-\frac{300}{500}=\frac25, confere.

Soma: \dfrac49+\dfrac25=\dfrac{20+18}{45}=\dfrac{38}{45}.

Alternativa C.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • AValor sem relação com os rendimentos obtidos; não satisfaz as condições de 40% e 80%.
  • BCorresponde a 1/3, a razão T3/T1, e não à soma dos rendimentos.
  • DResultado de erro de conta ao combinar os rendimentos; não coincide com 4/9 + 2/5.
  • EValor sem sentido físico aqui; não bate com 4/9 + 2/5.

Assuntos: máquina de Carnot, rendimento, máquinas térmicas acopladas.

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Fonte: IME 2027 · Prova objetiva. Prova oficial ↗