PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 21 do IME 2027

Prova objetiva · Física

Duas polias circulares de mesmo tamanho, lado a lado, acopladas por uma plataforma horizontal por meio de juntas em pontos equivalentes, abaixo e à direita dos centros. Um bloco de massa está sobre a plataforma. Na polia esquerda, uma seta curva indica a rotação no sentido horário. Entre as polias, uma seta vertical para baixo indica . Na polia direita, a distância entre o centro e a junta de acoplamento é indicada por .

A figura mostra duas polias acopladas por meio de uma plataforma. As juntas estão localizadas em pontos equivalentes das polias, de forma que a plataforma esteja sempre na horizontal. Um bloco de massa m é colocado sobre a plataforma.

Dados:

• distância entre o centro de uma polia e sua junta de acoplamento: R = \frac{3}{4}\sqrt{0{,}44}\ \text{m};
• aceleração da gravidade: g = 10\ \text{m/s}^2;
• coeficiente de atrito estático entre o bloco e a plataforma: \sqrt{0{,}44};
• o máximo de a\cdot\cos(\theta) + b\cdot\sen(\theta) é \sqrt{a^2 + b^2}.

O valor máximo da rotação \omega das polias para que o bloco não deslize na direção horizontal sobre a plataforma, em rad/s, é:

  1. A
    \frac{15}{4}
  2. B
    \frac{10}{3}
  3. C
    2\sqrt{3}
  4. D
    3\sqrt{5}
  5. E
    2\sqrt{5}
Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.
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Resolução comentada

A plataforma fica sempre horizontal e todos os seus pontos descrevem círculos de raio R com velocidade angular \omega constante (translação circular). Então o bloco tem aceleração de módulo a=\omega^2R, dirigida para o centro do círculo.

Se o ângulo \theta marca a posição da junta, as componentes da aceleração são:

  • horizontal: a_x=\omega^2R\cos\theta (em módulo);
  • vertical: a_y=\omega^2R\sen\theta (em módulo, com sinal que depende da posição).

Vertical: N-mg=m a_y, ou seja, N=m(g+a_y), com a_y=\omega^2R\sen\theta (o sinal de \theta já incorpora subida ou descida).

Horizontal: o atrito é a única força horizontal, então f=m\omega^2R\cos\theta. Para não deslizar, f\le\mu N:

\omega^2R\cos\theta\le\mu\,(g+\omega^2R\sen\theta)

Isolando g:

\omega^2R(\cos\theta-\mu\sen\theta)\le\mu g

A condição vale para todo \theta, então vale para o máximo do lado esquerdo. Pelo dado, \max(\cos\theta-\mu\sen\theta)=\sqrt{1+\mu^2}. Com \mu^2=0{,}44, temos \sqrt{1{,}44}=1{,}2.

\omega^2\le\frac{\mu g}{R\sqrt{1+\mu^2}}

Como R=\frac34\mu:

\omega^2\le\frac{\mu\cdot10}{\frac34\mu\cdot1{,}2}=\frac{10}{0{,}9}=\frac{100}{9}
\omega\le\frac{10}{3}\ \text{rad/s}

Alternativa B.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • AValor sem origem em um cálculo coerente; não resulta de \omega^2=100/9.
  • CResulta de erro na simplificação de \mu g/(R\sqrt{1+\mu^2}), por exemplo ignorar o fator 1{,}2 ou o 3/4.
  • DValor grande demais; ignora a variação da normal com \sen\theta ou usa o máximo incorreto.
  • ECorresponde a \omega^2=20, que aparece ao esquecer o fator \sqrt{1+\mu^2} e usar \omega^2=g/R\cdot\ldots incorretamente.

Assuntos: movimento circular, atrito estático, dinâmica.

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Fonte: IME 2027 · Prova objetiva. Prova oficial ↗